Slični zadaci

Državno natjecanje 2002 SŠ2 3

Ako za trokute s duljinama stranica $a$ , $b$ , $c$ i $a^\prime$ , $b^\prime$ , $c^\prime$ te nasuprotnim kutovima $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ i $\alpha^\prime$ , $\beta^\prime$ , $\gamma^\prime$ vrijede jednakosti $\alpha + \alpha^\prime = \pi$ i $\beta = \beta^\prime$ , dokažite da vrijedi i jednakost $aa^\prime = bb^\prime + cc^\prime$ .

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Državno natjecanje 1999 SŠ2 1

neka su $L$ i $M$ redom tocke u kojima simetrale unutarnjeg i vanjskog kuta iz vrha $C$ , trokuta $ABC$ , sijeku pravac $AB$ . ako je $|CL| = |CM|$ , dokazite da je $|AC|^2 + |BC|^2 = 4R^2$ , gdje je $R$ duljina polumjera kruznice opisane trokutu $ABC$

Državno natjecanje 2000 SŠ2 2

Nad stranicama $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$ šiljastokutnog trokuta $ABC$ s vanjske strane konstruiraju se kvadrat $ACXE$ i $CBDY$ . Dokažite da se pravci $AD$ i $BE$ sijeku na visini iz vrha $C$ trokuta $ABC$ .

Državno natjecanje 2005 SŠ2 2

Središte $U$ upisane kružnice trokuta $ABC$ spojeno je dužinama s njegovim vrhovima. Neka su $O_1, O_2$ i $O_3$ središta kružnica opisanih trokutima $BCU$ , $CAU$ i $ABU$ . Dokažite da kružnice opisane trokutima $ABC$ i $O_1O_2O_3$ imaju zajedničko središte.

Državno natjecanje 2007 SŠ2 4

Unutar trokuta $ABC$ nalazi se točka $S$ . Dokažite da je umnožak udaljenosti točke $S$ od stranica trokuta $ABC$ najveći kada je točka $S$ njegovo težište.

Državno natjecanje 2010 SŠ2 4

Upisana kružnica dodiruje stranice $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ trokuta $ABC$ u točkama $M$ i $N$ . Neka je $P$ sjecište pravca $MN$ i simetrale kuta $\angle{ABC}$ . Dokaži da je $BP \perp CP$ .

Državno natjecanje 2011 SŠ2 4

U trokutu $ABC$ vrijedi $\left\vert AB \right\vert = \left\vert AC \right\vert$ , a simetrala kuta $\angle{ABC}$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $D$ tako da je $\left\vert BC \right\vert = \left\vert BD \right\vert + \left\vert AD \right\vert$ . Odredi kutove tog trokuta.