Školjka

%V0 Neka je $N$ prirodan broj. Dano je $N$ trojki cijelih brojeva $r_j$, $s_j$, $t_j$, za $1 \leq j \leq N$, takvih da je barem jedan od njih neparan. Pokažite da postoje cijeli brojevi $a$, $b$, $c$ takvi da je $ar_j + bs_j + ct_j$ neparan, za barem $\dfrac{4N}{7}$ različitih indeksa $j$.

%V0 Koliko najmanje brojeva može imati skup $A$ prirodnih brojeva od kojih je najmanji jednak $1$, najveći $100$, i ima svojstvo da je svaki broj iz $A$, osim $1$, jednak zbroju dva (jednaka ili različita) broja iz $A$?

%V0 Žaba skače po točkama koordinatne mreže počevši od točke $(1, 1)$ po sljedećim pravilima: $(i)$ iz točke $(a, b)$ žaba smije skočiti u točku $(2a, b)$, odnosno $(a, 2b)$; $(ii)$ ako je $a > b$ žaba smije skočiti iz $(a, b)$ u $(a - b, b)$, a ako je $a < b$ žaba smije skočiti iz $(a, b)$ u $(a, b - a)$. Može li žaba stići u točku $(a)$ $(24, 40)$, $(b)$ $(40, 60)$, $(c)$ $(24, 60)$, $(d)$ $(200, 4)$?

%V0 U polja kvadrata $3 \times 3$ treba upisati prirodne brojeve, tako da u svakom retku i svakom stupcu produkt upisanih brojeva bude $270$. Na koliko je načina to moguće napraviti?

%V0 Na početku je u svaki od kvadrata raspoređenih kao na slici upisana nula. $$$\setlength{\unitlength}{5pt} \begin{center} \begin{picture}(19, 19) \newsavebox{\sq} \savebox{\sq}(3, 3)[bl]{\put(0, 0){\line(1, 0){3}}\put(0, 3){\line(1, 0){3}}\put(0, 0){\line(0, 1){3}}\put(3, 0){\line(0, 1){3}}} \newsavebox{\lih} \savebox{\lih}(1, 1)[bl]{\put(0, 1.5){\line(1, 0){1}}} \newsavebox{\liv} \savebox{\liv}(1, 1)[bl]{\put(1.5, 0){\line(0, 1){1}}} \multiput(0, 0)(4, 0){5}{\usebox{\sq}} \multiput(0, 8)(4, 0){5}{\usebox{\sq}} \multiput(0, 16)(4, 0){5}{\usebox{\sq}} \multiput(0, 0)(0, 4){5}{\usebox{\sq}} \multiput(8, 0)(0, 4){5}{\usebox{\sq}} \multiput(16, 0)(0, 4){5}{\usebox{\sq}} \multiput(3, 0)(4, 0){4}{\usebox{\lih}} \multiput(3, 8)(4, 0){4}{\usebox{\lih}} \multiput(3, 16)(4, 0){4}{\usebox{\lih}} \multiput(0, 3)(0, 4){4}{\usebox{\liv}} \multiput(8, 3)(0, 4){4}{\usebox{\liv}} \multiput(16, 3)(0, 4){4}{\usebox{\liv}} \end{picture} \end{center}$$$ U svakom potezu odabire se jedan od kvadrata te se istovremeno brojevi koji se nalaze u tom kvadratu i u svim njemu susjednim kvadratima uvećavaju za jedan. Dokaži da je nakon određenog broja poteza: a) moguće postići da u svakom kvadratu piše broj $2010$ b) nemoguće postići da u svakom kvadratu piše broj $2011$.

%V0 U vreći se nalazilo $255$ kuglica označenih brojevima $1$, $2$, ..., $255$, a onda je svaki od $N$ učenika uzeo iz vreće po jednu kuglicu. Pokazalo se da nijedan od izvučenih brojeva nije točno dvostruko veći od nekog drugog izvučenog broja. Odredi najveći mogući $N$.