« Vrati se

Državno natjecanje 1994 SŠ1 2

1994 drz geo sredine ss1 trapez
Neka su a i c duljine osnovica trapeza. Dokažite:

a) Duljina dužine paralelne s osnovicama, koja raspolavlja površinu trapeza, jednaka je \sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}} (kvadratna sredina).

b) Duljina spojnice polovišta krakova jednaka je \frac{a+c}{2} (aritmetička sredina).

c) Duljina dužine paralelne osnovicama, koja dijeli trapez na dva međusobno slična trapeza, jednaka je \sqrt{ac} (geometrijska sredina).

d) Duljina dužine paralelne s osnovicama kroz sjecište dijagonala, kojoj su krajevi na krakovima, jednaka je \frac{2}{\frac1a + \frac1c} (harmonijska sredina).

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca
Zadaci

Državno natjecanje 2007 SŠ1 2

2007 drz geo ss1
Na polupravcima p i q sa zajedničkim početkom O dane su točke A i C (na p) te B i D (na q). Ako je pravac CD paralelan s težišnicom trokuta OAB, dokažite da je pravac AB paralelan s težišnicom trokuta OCD.

Državno natjecanje 2006 SŠ1 3

2006 drz geo ss1
Iz jednog vrha šiljastokutnog trokuta povučena je visina, iz drugog težišnica, a iz trećeg simetrala kuta. Ta tri pravca ne prolaze istom točkom, već njihove točke presjeka čine vrhove novog trokuta. Dokaži da novi trokut ne može biti jednakostraničan.

Državno natjecanje 2005 SŠ1 4

2005 drz geo ss1
Duljine stranica trokuta su a, b i c, a R je duljina polumjera opisane mu kružnice. Odredite kutove trokuta ako vrijedi R = \displaystyle \frac{a\sqrt{bc}}{b+c}.

Državno natjecanje 2005 SŠ1 2

2005 drz geo ss1
Spojnice središta trokutu upisane kružnice i njegovih vrhova dijele ga na tri trokuta od kojih je jedan sličan polaznome. Odredite kutove polaznog trokuta.

Državno natjecanje 2004 SŠ1 2

2004 drz geo ss1
Dokažite da su težišnice iz vrhova A i B trokuta ABC međusobno okomite ako i samo ako za duljine stranica vrijedi jednakost \left\vert BC \right\vert^2 + \left\vert AC \right\vert^2 = 5 \left\vert AB \right\vert^2 \text{.}

Državno natjecanje 2002 SŠ1 1

2002 drz geo ss1 trapez
Duljina srednjice trapeza je 4, a kutovi uz jednu osnovicu su 40^\circ i 50^\circ. Odredite duljine osnovica ako je udaljenost njihovih polovišta jednaka 1.