Školjka

%V0 Dokažite da za sve realne brojeve $x$, $y$, $z$ vrijedi nejednakost $$ \sin ^2x\cos y+\sin ^2y\cos z+\sin ^2z\cos x <\frac{3}{2}. $$

%V0 Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 2$ takve da za proizvoljne pozitivne realne brojeve $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ vrijedi nejednakost: $$ \left(x_1+x_2+\cdots + x_i + \cdots + x_n\right)^2 \geqslant n\left(x_1x_2 + x_2x_3 + \cdots + x_ix_{i+1}+ \cdots + x_nx_1\right) \text{.} $$

%V0 Neka je $n \in \mathbb{N}$ te $a_{1}$, $a_{2}$, ..., $a_{n}$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $$ a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} = \frac{1}{a_{1}^{2}} + \frac{1}{a_{2}^{2}} + \cdots + \frac{1}{a_{n}^{2}} \text{.} $$ Dokaži da za svaki $m \in \left\{1,\,2,\,\ldots,\,n\right\}$ postoji $m$ brojeva iz skupa $\left\{a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n}\right\}$ čiji je zbroj barem $m$.

%V0 Neka su $x_1, x_2, . . . , x_{n-1}, x_n$ pozitivni realni brojevi takvi da je $\sum_{i=1}^{n}x_i = 1$. Dokaži nejednakost $$\frac{x_1^2}{x_1+x_2} + \frac{x_2^2}{x_2+x_3} + \cdots + \frac{x_{n-1}^2}{x_{n-1}+x_n} + \frac{x_n^2}{x_n+x_1} \geq \frac{1}{2}.$$

%V0 Dokažite da za svaki realan broj $x$ i svaki prirodan broj $n$ vrijedi nejednakost $$|\cos x| + |\cos 2x| + |\cos 2^2x| + \dots + |\cos 2^nx| \geq \frac{n}{2\sqrt{2}} \text{.}$$

%V0 Brojevi $a$, $b$, $c$, $d$ zadovoljavaju relaciju $a+b+c+d=0$. Neka je $S_1=ab+bc+cd$ i $S_2=ac+ad+bd$. Pokažite da je $$5S_1+8S_2 \leqslant 0 \qquad \text{i} \qquad 8S_1+5S_2 \leqslant 0 \text{.}$$