« Vrati se
Neka su \alpha i \beta pozitivni iracionalni brojevi takvi da je \frac1\alpha + \frac1\beta = 1, te A=\{\lfloor n\alpha \rfloor | n \in \mathbb{N}\} i B=\{\lfloor n\beta \rfloor | n \in \mathbb{N}\}. Dokažite da je tada A \cup B = \mathbb{N} i A \cap B = \emptyset.

Naputak: Možete dokazati ekvivalentnu tvrdnju: Za funkciju \pi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} definiranu sa
\pi(m)=\mathrm{Card} \{k | k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in A\} + \mathrm{Card} \{k | k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in B\} vrijedi \pi(m)=n, \,\, \forall m \in \mathbb{N}.

( \lfloor x \rfloor je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od x.)

Slični zadaci

#NaslovOznakeRj.KvalitetaTežina
232Državno natjecanje 2002 SŠ3 213
256Državno natjecanje 2007 SŠ3 116
263Državno natjecanje 2008 SŠ3 320
272Državno natjecanje 2010 SŠ3 224
296Državno natjecanje 1996 SŠ4 16
299Državno natjecanje 1996 SŠ4 42