Državno natjecanje 1996 SŠ3 4


Kvaliteta:
  Avg: 4,0
Težina:
  Avg: 5,0
Dodao/la: arhiva
1. travnja 2012.
LaTeX PDF
Neka su \alpha i \beta pozitivni iracionalni brojevi takvi da je \frac1\alpha + \frac1\beta = 1, te A=\{\lfloor n\alpha \rfloor | n \in \mathbb{N}\} i B=\{\lfloor n\beta \rfloor | n \in \mathbb{N}\}. Dokažite da je tada A \cup B = \mathbb{N} i A \cap B = \emptyset.

Naputak: Možete dokazati ekvivalentnu tvrdnju: Za funkciju \pi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} definiranu sa
\pi(m)=\mathrm{Card} \{k | k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in A\} + \mathrm{Card} \{k | k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in B\} vrijedi \pi(m)=n, \,\, \forall m \in \mathbb{N}.

( \lfloor x \rfloor je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od x.)
Izvor: Državno natjecanje iz matematike 1996