Školjka

%V0 Na nekom turističkom putovanju bilo je ukupno $17$ turista. Utvrđeno je da su bilo koja dvojica od njih bili međusobno "na ti" ili "na vi" ili uopće nisu razgovarali. Dokažite da među tih $17$ ljudi postoje bar trojica koji su međusobno bili "na ti" ili bar trojica koji su međusobno bili "na vi" ili bar trojica koji međusobno nisu razgovarali.

%V0 mozemo li iz svakog deveterclanog podskupa skupa prirodnih brojeva odabrati cetiri razlicita elementa $a$, $b$, $c$, $d$, tako da brojevi $a + b$ i $c + d$ daju isti ostatak pri djeljenju s $20$?

%V0 Skup $S$ sadrži $100$ prirodnih brojeva, od kojih je svaki manji od $200$. Pokažite da postoji neprazan podskup $T$ od $S$ takav da je produkt brojeva iz $T$ potpuni kvadrat.

%V0 Dan je $n \times p$ pravokutnik podijeljen na $np$ jedinicnih kvadratica. Na pocetku je $m$ kvadratica crnih, a svi ostali su bijeli. Dozvoljena je sljedeca operacija: bijeli kvadratic koji ima zajednicki brid s barem dva crna kvadratica, moze postati crni. Nadi najmanji moguci $m$ takav da postoji polazna pozicija iz koje, primjenom ovih operacija, mogu svi kvadratici postati crni.

%V0 U jednom vrhu kocke nalaze se dva pauka, a u suprotnom vrhu muha. Pauci i muha kreću se isključivo po bridovima kocke jednakim konstantnim brzinama. U svakom trenutku paucima je poznata pozicija muhe i muhi je poznata pozicija pauka. Dokaži da pauci mogu uhvatiti muhu. Smatra se da je muha uhvaćena ako se nađe u istoj točki kao i jedan od paukova.

%V0 Svako polje ploče $1000 \times 1000$ obojano je crnom ili bijelom bojom. Ukupan broj crnih polja na ploči je za $2012$ veći od ukupnog broja bijelih polja. Dokaži da postoji kvadrat $2 \times 2$ koji sadrži tri polja jedne boje i jedno polje druge boje.