Neka je
![\{ F_i \}](/media/m/a/7/5/a75e3ef63575a67330476ca699b22d1d.png)
,
![i=0,1, \ldots](/media/m/e/2/d/e2dbe48481982e305b32344bd599e149.png)
niz brojeva definiran na sljedeći način:
![F_0=0, \ F_1=1,\ F_{i+2}=F_{i+1}+F_{i}, \ i=0,1, \ldots](/media/m/2/b/1/2b12ba209f3b03bdb560051572ad51da.png)
Za prirodan broj
![n \geq 2](/media/m/2/1/f/21fe2458de6d1580c44fd06e0fac11bb.png)
neka su
![a_0, a_1, \ldots a_n](/media/m/3/6/b/36b4ef34bb7c7a2b8c50b58a13cefc04.png)
nenegativni brojevi koji zadovoljavaju uvjet
![a_0=1, \ a_i \leq a_{i+1} + a_{i+2}, \ i=0,1, \ldots, n-2.](/media/m/b/8/4/b845b25350adaef3df059780a51a74cc.png)
Dokažite da je
![a_0+a_1+\ldots+a_n \geq \frac{F_{n+2}-1}{F_{n}}](/media/m/f/c/d/fcd23ec17cab5ba4ceb990de90bd6eb3.png)
. Da li se postiže jednakost?
%V0
Neka je $\{ F_i \}$, $i=0,1, \ldots $ niz brojeva definiran na sljedeći način:
$$ F_0=0, \ F_1=1,\ F_{i+2}=F_{i+1}+F_{i}, \ i=0,1, \ldots$$
Za prirodan broj $n \geq 2$ neka su $a_0, a_1, \ldots a_n$ nenegativni brojevi koji zadovoljavaju uvjet
$$ a_0=1, \ a_i \leq a_{i+1} + a_{i+2}, \ i=0,1, \ldots, n-2. $$
Dokažite da je $a_0+a_1+\ldots+a_n \geq \frac{F_{n+2}-1}{F_{n}}$. Da li se postiže jednakost?