Školjka

%V0 Odredite šiljaste kutove pravokutnog trokuta kojemu se polumjeri opisane i upisane kružnice odnose kao $5 : 2$.

%V0 U polja kvadrata $3 \times 3$ treba upisati prirodne brojeve, tako da u svakom retku i svakom stupcu produkt upisanih brojeva bude $270$. Na koliko je načina to moguće napraviti?

%V0 Dan je četverokut $ABCD$. Opisana kružnica trokuta $ABC$ siječe stranice $\overline{CD}$ i $\overline{DA}$ redom u točkama $P$ i $Q$, a opisana kružnica trokuta $CDA$ stranice $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ redom u točkama $R$ i $S$. Pravci $BP$ i $BQ$ sijeku pravac $RS$ redom u točkama $M$ i $N$. Dokaži da točke $M$, $N$, $P$ i $Q$ leže na istoj kružnici.

%V0 Konveksni četverokuti $ABCD$ i $AECF$ upisani su u istu kružnicu. Izrazite omjer njihovih površina pomoću duljina njihovih stranica.

%V0 Unutar danog trokuta, čije opisana i upisana kružnica imaju središta $O$ i $I$ i polumjere $R$ i $r$, nacrtane su četiri jednake kružnice polumjera $x$. Tri od njih diraju po dvije stranice trokuta te izvana diraju četvrtu kružnicu čije je središte u točki $S$. Dokažite da točka $S$ leži na pravcu određenom točkama $O$ i $I$. Nađite polumjer $x$.

%V0 Dijagonale tetivnog četverokuta $ABCD$ sijeku se u $S$. Kružnica opisana trokutu $ABS$ siječe pravac $BC$ u točki $M$, a kružnica opisana trokutu $ADS$ siječe pravac $CD$ u točki $N$. Dokažite da su $S$, $M$, $N$ kolinearne.