Školjka

%V0 Nađite sve prirodne brojeve $x$ i $y$ za koje vrijedi $1! + 2! + 3! + \cdots + x! = y^2$.

%V0 Nađi sve prirodne brojeve $m,n$ takve da vrijedi: $$1^1 + 2^2 + 3^3 + \cdots + n^n=m^n \text{.}$$

%V0 Za broj kažemo da je [i]malen[/i] ako je strogo manji od zbroja svih svojih djelitelja ne uključujući njega samog. Postoji li [i]malen[/i] neparan broj?

%V0 $\text{(i)}$ Odredi sve proste brojeve $p_1<p_2<...<p_n$ takve da je $$\left( 1+\displaystyle\frac{1}{p_1}\right)\cdot \left( 1+\displaystyle \frac{1}{p_2}\right)\cdot ... \cdot \left( 1+\displaystyle\frac{1}{p_n}\right)$$ prirodan broj. $\text{(ii)}$ Postoje li prirodni brojevi $1<a_1<a_2<...<a_n$ takvi da je $$\left( 1+\displaystyle\frac{1}{a_1^2}\right)\cdot \left( 1+\displaystyle \frac{1}{a_2^2}\right)\cdot ... \cdot \left( 1+\displaystyle\frac{1}{a_n^2}\right)$$ prirodan broj.

%V0 Dokažite da je svaki broj oblika $m^4+4k^4$ složen, ako su $m$ i $k$ pozitivni cijeli brojevi i $k\ge 2$.

%V0 Dan je broj $n = p_1 p_2 p_3 p_4$, gdje su $p_1$, $p_2$, $p_3$ i $p_4$ četiri različita prosta broja. Njegovi pozitivni cjelobrojni djelitelji su $$d_1 = 1 < d_2 < d_3 < \ldots < d_{15} < d_{16} = n.$$ Postoji li $n < 2001$, takav da je $d_9 - d_8 = 22$?