Školjka

%V0 U jednom vrhu kocke nalaze se dva pauka, a u suprotnom vrhu muha. Pauci i muha kreću se isključivo po bridovima kocke jednakim konstantnim brzinama. U svakom trenutku paucima je poznata pozicija muhe i muhi je poznata pozicija pauka. Dokaži da pauci mogu uhvatiti muhu. Smatra se da je muha uhvaćena ako se nađe u istoj točki kao i jedan od paukova.

%V0 Dan je $n \times p$ pravokutnik podijeljen na $np$ jedinicnih kvadratica. Na pocetku je $m$ kvadratica crnih, a svi ostali su bijeli. Dozvoljena je sljedeca operacija: bijeli kvadratic koji ima zajednicki brid s barem dva crna kvadratica, moze postati crni. Nadi najmanji moguci $m$ takav da postoji polazna pozicija iz koje, primjenom ovih operacija, mogu svi kvadratici postati crni.

%V0 Deset brojeva $1, 4, 7, \ldots, 28$ (razlika dvaju uzastopnih je $3$) raspoređeno je u krug. Sa $N$ označimo najveću od deset suma koje dobivamo tako da svaki od brojeva zbrojimo s dva njemu susjedna broja. Koja je najmanja vrijednost broja $N$ koju možemo postići?

%V0 Šest otoka povezano je linijama jednog trajektnog i jednog hidrogliserskog poduzeća. Svaka dva otoka povezana su (u oba smjera) linijom točno jednog od ova dva poduzeća. Dokaži da je moguće ciklički posjetiti četiri otoka koristeći linije samo jednog poduzeća (tj. da postoje četiri otoka $A, B, C$ i $D$ i poduzeće čiji brodovi plove na linijama $A \longleftrightarrow B, B \longleftrightarrow C, C \longleftrightarrow D, D \longleftrightarrow A$).

%V0 Imamo $8$ kockica duljine brida $1$ čije su $24$ strane obojane crveno, a preostalih $24$ plavo. Dokažite da se od tih kockica može složiti kocka $(2 \times 2 \times 2)$ na čijem oplošju će biti jednak broj crvenih i plavih kvadrata $(1 \times 1)$.

%V0 Na otoku živi $n$ domorodaca. Svaka dva su ili prijatelji ili neprijatelji. Jednog dana poglavica naredi svim stanovnicima (uključujući i sebe) da si naprave i da nose kamene ogrlice, tako da svaka dva prijatelja imaju barem po jedan istovrsni kamen u svojim ogrlicama, a da se sva kamenja u ogrlicama dvaju neprijatelja razlikuju. (Ogrlica može biti i bez kamenja) Dokažite da se poglavičina zapovijed može izvršiti koristeći $\left\lfloor \frac{n^2}{4} \right\rfloor$ različitih vrsta kamenja, i da se općenito ovo ne može postići s manje kamenja.