Školjka

%V0 Zadan je kompleksan broj $z=1+\cos \alpha+i\sin\alpha$, gdje je $\alpha \in \mathbb{R}$. Odredi $|z|$. Rješenje zapiši bez znaka korijena.

%V0 Odredi sve $x\in[0,2\pi]$ za koje su $\,3\sin{x}\,$ i $\,\dfrac{4}{7}\cos(2x)+\dfrac{5}{3}\sin{x}\,$ cijeli brojevi.

%V0 Riješi u skupu realnih brojeva jednadžbu $$ 2^{\sin^{2}{x}} = \sin{x}. $$

%V0 Odredi minimalnu vrijednost izraza $$ \sin{(x+3)}-\sin{(x+1)}-2\cos{(x+2)} $$ za $x \in \mathbb{R}$.

%V0 Neka su $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ kutovi takvi da vrijedi $\beta = 60^\circ + \alpha$ i $\gamma = 60^\circ + \beta$. Dokaži da je vrijednost izraza $$ \tg\alpha \tg\beta+\tg\beta\tg\gamma+\tg\gamma\tg\alpha $$ cijeli broj kad god je izraz definiran.

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ realni brojevi i neka je $a\neq 0$. Dokaži da barem jedna od jednadžbi $$$\begin{align*} a\sin{x}+b\cos{x}+c&=0, \\ a\tg{y}+ b\ctg{y}+2c&=0 \end{align*}$$$ ima realna rješenja.