Školjka

%V0 Zadan je konveksan četverokut $ABCD$ koji nije paralelogram. Neka pravac koji prolazi kroz polovišta dijagonala četverokuta siječe stranice $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ redom u točkama $M$ i $N$. Dokaži da trokuti $ABN$ i $CDM$ imaju jednake površine.

%V0 Dan je tetivni četverokut $ABCD$. Simetrala dužine $\overline{BC}$ siječe dužinu $\overline{AB}$ u točki $E$. Kružnica koja prolazi točkom $E$, vrhom $C$ i polovištem $F$ stranice $\overline{BC}$ siječe dužinu $\overline{CD}$ u točki $G$. Dokaži da su pravci $AD$ i $FG$ međusobno okomiti.

%V0 Dijagonale tetivnog četverokuta su međusobno okomite i dijele ga na četiri trokuta. Dokažite da visina svakog od tih trokuta i težišnica njemu nasuprotnog trokuta, povučene iz sjecišta dijagonala, leže na istom pravcu.

%V0 $ABCD$ is a quadrilateral with $BC$ parallel to $AD$. $M$ is the midpoint of $CD$, $P$ is the midpoint of $MA$ and $Q$ is the midpoint of $MB$. The lines $DP$ and $CQ$ meet at $N$. Prove that $N$ is inside the quadrilateral $ABCD$.

%V0 Let $A, B$ and $C$ be non-collinear points. Prove that there is a unique point $X$ in the plane of $ABC$ such that $$XA^2 + XB^2 + AB^2 = XB^2 + XC^2 + BC^2 = XC^2 + XA^2 + CA^2.$$

%V0 Let $ABC$ be a trapezoid with parallel sides $AB > CD$. Points $K$ and $L$ lie on the line segments $AB$ and $CD$, respectively, so that $\frac {AK}{KB} = \frac {DL}{LC}$. Suppose that there are points $P$ and $Q$ on the line segment $KL$ satisfying $\angle{APB} = \angle{BCD}$ and $\angle{CQD} = \angle{ABC}$. Prove that the points $P$, $Q$, $B$ and $C$ are concylic.