Školjka

%V0 Za realne brojeve $a$ i $b$ vrijedi $a+b = 1$, $a > 0$, $b > 0$. Dokažite da je $$2 < \left(a-\frac{1}{a}\right) \left(b-\frac{1}{b}\right) \leq \frac{9}{4}.$$

%V0 Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $abc = 1$. Dokažite: $$a^2 + b^2 + c^2 \geqslant a + b + c$$

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $a+b+c=abc$. Dokaži da vrijedi $$ a^5\left(bc-1\right)+b^5\left(ca-1\right)+c^5\left(ab-1\right)\ge 54\sqrt{3}. $$

%V0 Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{2}$. Dokaži nejednakost $$ \frac{1 - a^2 + c^2}{c\left(a + 2 b\right)} + \frac{1 - b^2 + a^2}{a \left(b + 2 c\right)} + \frac{1 - c^2 + b^2}{b \left(c + 2 a\right)} \geqslant 6 \text{.} $$

%V0 Produkt pozitivnih realnih brojeva $x$, $y$ i $z$ jednak je $1$. Ako je $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geqslant x + y + z \text{,}$$ dokažite da je $$\frac{1}{x^k} + \frac{1}{y^k} + \frac{1}{z^k} \geqslant x^k + y^k + z^k \text{,}$$ za svaki prirodan broj $k$.

%V0 Brojevi $a$, $b$, $c$, $d$ zadovoljavaju relaciju $a+b+c+d=0$. Neka je $S_1=ab+bc+cd$ i $S_2=ac+ad+bd$. Pokažite da je $$5S_1+8S_2 \leqslant 0 \qquad \text{i} \qquad 8S_1+5S_2 \leqslant 0 \text{.}$$