Školjka

%V0 Dokaži da za svaki realan broj $x$, $x>-1$, vrijedi nejednakost $$ \dfrac{x+x^2+x^3+x^4}{1+x^5}\leq 2. $$

%V0 Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $ab+bc+ca=1$. Dokaži nejednakost $$ \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\geq \sqrt{3}+\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}. $$

%V0 Neka su $x$, $y$, $z$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $x^3+y^3+z^3=1$. Dokaži da je tada $$ x^2+y^2+z^2 > x^5+y^5+z^5+2x^2y^2z^2(x+y+z). $$

%V0 Odredi najveći cijeli broj $n$ za koji vrijedi nejednakost $$3\left(n-\dfrac 53\right)-2(4n+1)>6n+5\text{.}$$

%V0 Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $abc = 1$. Dokažite: $$a^2 + b^2 + c^2 \geqslant a + b + c$$

%V0 Dani su brojevi $a_1, a_2, \ldots, a_{2012}$ iz intervala $\left[0,1\right]$. Dokaži nejednakost: $$ \left(1-a_1\right)a_2a_3\cdots a_{2012} + a_1\left(1-a_2\right)a_3 \cdots a_{2012} + \cdots + a_1\cdots a_{2011}\left(1-a_{2012}\right) \leq 1 \text{.}$$