Školjka

%V0 Deset brojeva $1, 4, 7, \ldots, 28$ (razlika dvaju uzastopnih je $3$) raspoređeno je u krug. Sa $N$ označimo najveću od deset suma koje dobivamo tako da svaki od brojeva zbrojimo s dva njemu susjedna broja. Koja je najmanja vrijednost broja $N$ koju možemo postići?

%V0 Konačan broj polja beskonačne kvadratne mreže obojan je crnom bojom. Dokažite da je u toj ravnini moguće odabrati konačno mnogo kvadrata koji zadovoljavaju svaki od sljedećih uvjeta: $(i)$ Unutrašnjosti svaka dva različita kvadrata su disjunktne (imaju prazan presjek). $(ii)$ Svako crno obojeno polje leži u nekom od tih kvadrata. $(iii)$ Površina crnih polja u svakom od odabranih kvadrata je barem $\frac{1}{5}$, a najvise $\frac{4}{5}$ površine tog kvadrata.

%V0 Imamo $8$ kockica duljine brida $1$ čije su $24$ strane obojane crveno, a preostalih $24$ plavo. Dokažite da se od tih kockica može složiti kocka $(2 \times 2 \times 2)$ na čijem oplošju će biti jednak broj crvenih i plavih kvadrata $(1 \times 1)$.

%V0 Na otoku živi $n$ domorodaca. Svaka dva su ili prijatelji ili neprijatelji. Jednog dana poglavica naredi svim stanovnicima (uključujući i sebe) da si naprave i da nose kamene ogrlice, tako da svaka dva prijatelja imaju barem po jedan istovrsni kamen u svojim ogrlicama, a da se sva kamenja u ogrlicama dvaju neprijatelja razlikuju. (Ogrlica može biti i bez kamenja) Dokažite da se poglavičina zapovijed može izvršiti koristeći $\left\lfloor \frac{n^2}{4} \right\rfloor$ različitih vrsta kamenja, i da se općenito ovo ne može postići s manje kamenja.

%V0 Na ploči su napisani brojevi $1, \frac 12, \frac 13, \ldots, \frac{1}{2001}$. Učenik odabire dva broja s ploče, recimo $x$ i $y$, te izračuna broj $x + y + xy$, rezultat zapiše na ploču, a $x$ i $y$ obriše. Odredite broj koji će ostati na ploči nakon što ovaj postupak obavi $2000$ puta.

%V0 Na nekom turističkom putovanju bilo je ukupno $17$ turista. Utvrđeno je da su bilo koja dvojica od njih bili međusobno "na ti" ili "na vi" ili uopće nisu razgovarali. Dokažite da među tih $17$ ljudi postoje bar trojica koji su međusobno bili "na ti" ili bar trojica koji su međusobno bili "na vi" ili bar trojica koji međusobno nisu razgovarali.