Školjka

%V0 Odredi sve parove $\left(x,\,y\right)$ cijelih brojeva koji zadovoljavaju jednadžbu $$ x^2\left(y-1\right) + y^2\left(x-1\right) = 1 \text{.} $$

%V0 Odredi sve parove prirodnih brojeva $x$ i $y$ za koje je $\displaystyle \frac{xy^{2}}{x + y}$ prosti broj.

%V0 Od svih brojeva oblika $36^m - 5^n$, gdje su $m$ i $n$ prirodni brojevi, odredi najmanji po apsolutnoj vrijednosti.

%V0 Dokažite da se prirodan broj može prikazati kao zbroj dva ili više uzastopnih prirodnih brojeva ako i samo ako taj broj nije potencija broja $2$.

%V0 Neka su $\alpha$ i $\beta$ pozitivni iracionalni brojevi takvi da je $\frac1\alpha + \frac1\beta = 1$, te $A=\{\lfloor n\alpha \rfloor | n \in \mathbb{N}\}$ i $B=\{\lfloor n\beta \rfloor | n \in \mathbb{N}\}$. Dokažite da je tada $A \cup B = \mathbb{N}$ i $A \cap B = \emptyset$. Naputak: Možete dokazati ekvivalentnu tvrdnju: Za funkciju $\pi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ definiranu sa $$\pi(m)=\mathrm{Card} \{k | k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in A\} + \mathrm{Card} \{k | k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in B\}$$ vrijedi $\pi(m)=n, \,\, \forall m \in \mathbb{N}$. ( $\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

%V0 Nađite najveći prirodan broj $n$ koji je djeljiv sa svim prirodnim brojevima $k$ takvima da je $k \leq \sqrt{n}$.