Slični zadaci

Državno natjecanje 2009 SŠ3 4

Neka je $n \in \mathbb{N}$ te $a_{1}$ , $a_{2}$ , ..., $a_{n}$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} = \frac{1}{a_{1}^{2}} + \frac{1}{a_{2}^{2}} + \cdots + \frac{1}{a_{n}^{2}} \text{.}$

Dokaži da za svaki $m \in \left\{1,\,2,\,\ldots,\,n\right\}$ postoji $m$ brojeva iz skupa $\left\{a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n}\right\}$ čiji je zbroj barem $m$ .

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Državno natjecanje 2009 SŠ4 2

Dani su realni brojevi $x_{0} > x_{1} > x_{2} > \cdots > x_{n}$ . Dokaži da je $x_{0} - x_{n} + \frac{1}{x_{0} - x_{1}} + \frac{1}{x_{1} - x_{2}} + \cdots + \frac{1}{x_{n - 1} - x_{n}} \geqslant 2n \text{.}$

Kada vrijedi jednakost?

Državno natjecanje 2010 SŠ3 4

Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 2$ takve da za proizvoljne pozitivne realne brojeve $x_1$ , $x_2$ , ..., $x_n$ vrijedi nejednakost: $\left(x_1+x_2+\cdots + x_i + \cdots + x_n\right)^2 \geqslant n\left(x_1x_2 + x_2x_3 + \cdots + x_ix_{i+1}+ \cdots + x_nx_1\right) \text{.}$

Državno natjecanje 2008 SŠ3 2

Neka su $x_1, x_2, . . . , x_{n-1}, x_n$ pozitivni realni brojevi takvi da je $\sum_{i=1}^{n}x_i = 1$ . Dokaži nejednakost

$\frac{x_1^2}{x_1+x_2} + \frac{x_2^2}{x_2+x_3} + \cdots + \frac{x_{n-1}^2}{x_{n-1}+x_n} + \frac{x_n^2}{x_n+x_1} \geq \frac{1}{2}.$