Slični zadaci

Državno natjecanje 1994 SŠ4 2

Neka je $z$ kompleksan broj i $w = f(z) = \frac{2}{3-z}$ .
(a) Odredite skup $\{w : z=2+iy,\, y \in \mathbb{R}\}$ u kompleksnoj ravnini.
(b) Pokažite da se funkcija $w$ može zapisati u obliku $\frac{w-1}{w-2}=\lambda \frac{z-1}{z-2}$ .
(c) Neka je $z_0 = \frac12$ i niz $(z_n)$ definiran sa
$z_n = \frac{2}{3-z_{n-1}}$ , $n \geq 1$ .
Koristeći svojstvo (b) izračunajte limes niza $(z_n)$ .

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Državno natjecanje 1994 SŠ4 3

Odredite polinom $P(x)$ s realnim koeficijentima takav da za neki $n \in \mathbb{N}$ vrijedi

$xP(x-n) = (x-1)P(x), \,\,\forall x \in \mathbb{R}.$

Državno natjecanje 1996 SŠ4 2

Za koje vrijednosti $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$ su sva rješenje jednadžbe $(x + i\lambda_1)^n + (x + i\lambda_2)^n = 0$ realna? Odredite ta rješenja.

Državno natjecanje 2007 SŠ4 2

Niz $(a_n)$ zadan je rekurzivno:
$a_0 = 3$
$a_n$ $= 2 + a_0 \cdot a_1 \cdot \ldots \cdot a_{n-1}, n\geq 1$ .

a) Dokažite da su svi članovi tog niza u parovima relativno prosti prirodni brojevi.
b) Odredite $a_{2007}$ .

Državno natjecanje 2007 SŠ4 3

Zadana je tablica $5 \times n$ kojoj je svako polje obojano u crvenu ili plavu boju. Nađite najmanji $n$ za koji se uvijek mogu odabrati tri retka i tri stupca takva da je svih $9$ polja u njihovom presjeku iste boje.

Državno natjecanje 2007 SŠ4 4

Šiljastokutni trokut $ABC$ kome su $A_1$ , $B_1$ i $C_1$ polovišta stranica $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ upisan je u kružnicu sa središtem u točki $O$ polumjera $1$ . Dokažite da je
$\frac{1}{|OA_1|}+\frac{1}{|OB_1|}+\frac{1}{|OC_1|} \geq 6$

Državno natjecanje 2008 SŠ4 2

Odredi formulu za zbroj $\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor \text{,}$ gdje je $\lfloor r \rfloor$ najveći cijeli broj koji nije veći od $r$ .