Školjka

%V0 Neka je $z$ kompleksan broj i $w = f(z) = \frac{2}{3-z}$. (a) Odredite skup $\{w : z=2+iy,\, y \in \mathbb{R}\}$ u kompleksnoj ravnini. (b) Pokažite da se funkcija $w$ može zapisati u obliku $\frac{w-1}{w-2}=\lambda \frac{z-1}{z-2}$. (c) Neka je $z_0 = \frac12$ i niz $(z_n)$ definiran sa $z_n = \frac{2}{3-z_{n-1}}$, $n \geq 1$. Koristeći svojstvo (b) izračunajte limes niza $(z_n)$.

%V0 neka je $P$ polinom $n$-tog stupnja ciji su svi koeficijenti nenegativni, a vodeci i slobodni koeficijent jednaki su $1$. uz pretpostavku da su sve nultocke od $P$ realni brojevi, dokazite da za svaki $x \geq 0$ vrijedi $P(x) \geq (x + 1)^n$.

%V0 Niz $(a_n)$ zadan je rekurzivno: $a_0 = 3$ $a_n$ $= 2 + a_0 \cdot a_1 \cdot \ldots \cdot a_{n-1}, n\geq 1$. a) Dokažite da su svi članovi tog niza u parovima relativno prosti prirodni brojevi. b) Odredite $a_{2007}$.

%V0 Zadana je tablica $5 \times n$ kojoj je svako polje obojano u crvenu ili plavu boju. Nađite najmanji $n$ za koji se uvijek mogu odabrati tri retka i tri stupca takva da je svih $9$ polja u njihovom presjeku iste boje.

%V0 Šiljastokutni trokut $ABC$ kome su $A_1$, $B_1$ i $C_1$ polovišta stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ upisan je u kružnicu sa središtem u točki $O$ polumjera $1$. Dokažite da je $$\frac{1}{|OA_1|}+\frac{1}{|OB_1|}+\frac{1}{|OC_1|} \geq 6$$

%V0 Odredi formulu za zbroj $$\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor \text{,} $$ gdje je $\lfloor r \rfloor$ najveći cijeli broj koji nije veći od $r$.