Školjka

%V0 Supružnici Ana i Tomislav došli su na zabavu na kojoj su sudjelovala još četiri para. Prilikom dolaska dogodio se izvjestan broj rukovanja. Pritom se nitko nije rukovao sa svojim bračnim drugom niti sa samim sobom. Kada je kasnije Tomislav upitao sve prisutne s koliko su se osoba rukovali, dobio je devet različitih odgovora. S koliko se osoba rukovala Ana?

%V0 Dana je dvadeset i jedna točka kao na slici. $$$\setlength{\unitlength}{25pt} \begin{center} \begin{picture}(4.2, 4.2) \multiput(0, 0)(2, 0){3}{\line(0, 1){4}} \multiput(0, 0)(0, 2){3}{\line(1, 0){4}} \put(1, 0){\line(1, 1){3}} \put(1, 0){\line(-1, 1){1}} \put(3, 0){\line(1, 1){1}} \put(3, 0){\line(-1, 1){3}} \put(1, 4){\line(1, -1){3}} \put(1, 4){\line(-1, -1){1}} \put(3, 4){\line(1, -1){1}} \put(3, 4){\line(-1, -1){3}} \multiput(0, 0)(1, 0){5}{\circle*{0.2}} \multiput(0, 2)(1, 0){5}{\circle*{0.2}} \multiput(0, 4)(1, 0){5}{\circle*{0.2}} \multiput(0, 1)(2, 0){3}{\circle*{0.2}} \multiput(0, 3)(2, 0){3}{\circle*{0.2}} \end{picture} \end{center}$$$ Na početku je svakoj točki pridružen broj nula. U svakom potezu odabire se pravac koji sadrži neku od nacrtanih dužina i u svim točkama kroz koje taj pravac prolazi, pridruženi brojevi se povećavaju za $1$. Kažemo da je prirodni broj $n$ [i]dohvatljiv[/i] ako se na opisani način može postići da je nakon određenog broja poteza svim točkama pridružen isti broj $n$. a) Dokaži da je broj $2010$ dohvatljiv. b) Dokaži da broj $2011$ nije dohvatljiv.

%V0 Dva igrača, $A$ i $B$ igraju sljedeću igru: $A$ i $B$ zapisuju naizmjenično po jednu znamenku sve dok ne napišu šesteroznamenkasti broj, pri čemu se niti jedna znamenka ne smije ponoviti. Prva znamenka mora biti različita od $0$. Igrač $A$ igra prvi, a znamenke se pišu redom slijeva nadesno. Igrač $A$ pobjeđuje ako je napisani šesteroznamenkasti broj djeljiv s $2$, $3$ ili $5$, a u suprotnom pobjeđuje igrač $B$. Dokaži da igrač $A$ ima strategiju za pobjedu, tj. može pobijediti neovisno o igri igrača $B$.

%V0 U polja kvadrata $3 \times 3$ treba upisati prirodne brojeve, tako da u svakom retku i svakom stupcu produkt upisanih brojeva bude $270$. Na koliko je načina to moguće napraviti?

%V0 Za koje se prirodne brojeve $n$ pravokutna ploča $9 \times n$ može prekriti pločicama oblika $\setlength{\unitlength}{5pt} \begin{picture}(2, 3) \put(0, 0){\line(1, 0){1}} \put(0, 0){\line(0, 1){2}} \put(2, 2){\line(-1, 0){2}} \put(2, 2){\line(0, -1){1}} \put(1, 0){\line(0, 1){2}} \put(0, 1){\line(1, 0){2}} \end{picture}$ tako da se one međusobno ne preklapaju?

%V0 Na raspolaganju su kovanice od $1$, $2$, $5$, $10$, $20$, $50$ lipa i od $1$ kune. Dokažite da ako se iznos od $M$ lipa može isplatiti pomoću $N$ kovanica, onda se iznos od $N$ kuna može isplatiti pomoću $M$ kovanica.