Školjka

%V0 Za koje realne brojeve $a$, $b$ su moduli svih korijena jednadžbe $z^3+az^2+bz-1=0$ jednaki $1$?

%V0 Neka je $z$ kompleksan broj i $w = f(z) = \frac{2}{3-z}$. (a) Odredite skup $\{w : z=2+iy,\, y \in \mathbb{R}\}$ u kompleksnoj ravnini. (b) Pokažite da se funkcija $w$ može zapisati u obliku $\frac{w-1}{w-2}=\lambda \frac{z-1}{z-2}$. (c) Neka je $z_0 = \frac12$ i niz $(z_n)$ definiran sa $z_n = \frac{2}{3-z_{n-1}}$, $n \geq 1$. Koristeći svojstvo (b) izračunajte limes niza $(z_n)$.

%V0 Odredi formulu za zbroj $$\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor \text{,} $$ gdje je $\lfloor r \rfloor$ najveći cijeli broj koji nije veći od $r$.

%V0 Za koje realne parametre $a$ postoji kompleksan broj $z$ takav da je $$ |z+\sqrt{2}|=\sqrt{a^2-3a+2} \quad \text{i} \quad |z+i\sqrt{2}|<a? $$

%V0 U skupu kompleksnih brojeva riješi jednadžbe $a)$ $z^3=\overline{z}$ $b)$ $z^5=\overline{z}$.

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ kompleksni brojevi za koje vrijedi $$ a+b+c=0, \qquad ab+bc+ca=0.$$ Dokaži da je $|a|=|b|=|c|$.