Školjka

%V0 Osim žarulja poredano je u krug. Svaka žarulja može biti ili upaljena ili ugašena. U jednom koraku radimo sljedeću transformaciju: žarulja će nakon transformacija biti ugašena, ukoliko je jedna od njoj susjednih žarulja upaljena, a druga ugašena, odnosno, žarulja će nakon transformacije svijetliti, ukoliko su obje njoj susjedne žarulje ili upaljene ili ugašene. U jednom se koraku na stanja svih žarulja djeluje istovremeno. Dokažite da će, nakon najviše četiri koraka, sve žarulje svijetliti.

%V0 Tablica dimenzija $n \times n$ ispunjena je jedinicama i nulama. Poznate je da ne postoje četiri jedinice na mjestima koje čine pravokutnik. Dokažite da je broj jedinica u tablici najviše $\frac n2 (1 + \sqrt{4n - 3})$.

%V0 prirodni brojevi od $1$ do $2003$ poredani su u niz. na nizu vrsimo ovu operaciju: ako je prvi broj u nizu jednak $k$, okrenemo poredak prvih $k$ brojeva. dokazati da se nakon konacno uzastopnih primjena ove operacije broj $1$ pojavi na prvom mjestu, nezavisno od pocetnog rasporeda.

%V0 Odredi formulu za zbroj $$\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor \text{,} $$ gdje je $\lfloor r \rfloor$ najveći cijeli broj koji nije veći od $r$.

%V0 U prostoru je dano sest razlicitih tocaka, $O, T_1, T_2, T_3, T_4, T_5.$ Dokazi da postoje indeksi $i, j, 1 \leq i < j \leq 5$ takvi da je $\angle T_iOT_j \leq 90^\circ.$

%V0 Dan je $n \times p$ pravokutnik podijeljen na $np$ jedinicnih kvadratica. Na pocetku je $m$ kvadratica crnih, a svi ostali su bijeli. Dozvoljena je sljedeca operacija: bijeli kvadratic koji ima zajednicki brid s barem dva crna kvadratica, moze postati crni. Nadi najmanji moguci $m$ takav da postoji polazna pozicija iz koje, primjenom ovih operacija, mogu svi kvadratici postati crni.