Školjka

%V0 Zadan je niz $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=4$, $x_{n+3}=x_{n+2}+x_{n+1}+x_n$, za svako $n \in \mathbb{N}$. Dokažite da se svaki prirodni broj može prikazati kao zbroj različitih elemenata tog niza.

%V0 u ravnini je dan kvadrat s vrhovima $T_1 = (1, 0)$, $T_2 = (0, 1)$, $T_3 = (-1, 0)$, $T_4 = (0, -1)$. za svaki $n \in \mathbb{N}$ neka je $T_{n+4}$ poloviste duzine $\overline{T_nT_{n+1}}$. uz pretpostavku da niz tocaka $T_n (n \rightarrow \infty)$ ima granicnu tocku, nadite koordinate te tocke.

%V0 Na kružnici je zapisano $n \geq 3$ prirodnih brojeva tako da svaki od njih dijeli zbroj dva njemu susjedna broja. Označimo $$S_n = \frac{a_n + a_2}{a_1} + \frac{a_1 + a_3}{a_2} + \ldots + \frac{a_{n-2} + a_n}{a_{n-1}} + \frac{a_{n-1} + a_1}{a_n}.$$ Odredite najveću i najmanju vrijednost od $S_n$.

%V0 Neka je $(a_n), n \in \mathbb{N}$ rastući niz prirodnih brojeva. Za član $a_k$ tog niza kažemo da je "dobar" ako se može prikazati kao suma nekih drugih (ne nužno različitih) članova tog niza. Dokažite da su svi članovi tog niza, osim njih konačno mnogo, "dobri".

%V0 Šiljastokutni trokut $ABC$ kome su $A_1$, $B_1$ i $C_1$ polovišta stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ upisan je u kružnicu sa središtem u točki $O$ polumjera $1$. Dokažite da je $$\frac{1}{|OA_1|}+\frac{1}{|OB_1|}+\frac{1}{|OC_1|} \geq 6$$

%V0 Odredi formulu za zbroj $$\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor \text{,} $$ gdje je $\lfloor r \rfloor$ najveći cijeli broj koji nije veći od $r$.