Slični zadaci

Državno natjecanje 2000 SŠ4 3

Na kružnici je zapisano $n \geq 3$ prirodnih brojeva tako da svaki od njih dijeli zbroj dva njemu susjedna broja. Označimo

$S_n = \frac{a_n + a_2}{a_1} + \frac{a_1 + a_3}{a_2} + \ldots + \frac{a_{n-2} + a_n}{a_{n-1}} + \frac{a_{n-1} + a_1}{a_n}.$
Odredite najveću i najmanju vrijednost od $S_n$ .

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Državno natjecanje 1994 SŠ4 1

Ako je jedan član beskonačnog aritmetičkog niza u skupu prirodnih brojeva potpuni kvadrat, dokažite da takvih članova ima beskonačno mnogo.

Državno natjecanje 1995 SŠ4 4

Zadan je niz $x_1=1$ , $x_2=2$ , $x_3=4$ , $x_{n+3}=x_{n+2}+x_{n+1}+x_n$ , za svako $n \in \mathbb{N}$ . Dokažite da se svaki prirodni broj može prikazati kao zbroj različitih elemenata tog niza.

Državno natjecanje 1999 SŠ4 3

izracunajte sumu
$\dfrac{a_1}{2} + \dfrac{a_2}{2^2} + \dfrac{a_3}{2^3} + \dots + \dfrac{a_k}{2^k} + \dots$
gdje je $(a_n)$ niz brojeva definiran na ovaj nacin:
$a_1 = 1$ , $a_2 = 1$ , $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ , za $n > 2$

Državno natjecanje 1999 SŠ4 4

u ravnini je dan kvadrat s vrhovima $T_1 = (1, 0)$ , $T_2 = (0, 1)$ , $T_3 = (-1, 0)$ , $T_4 = (0, -1)$ . za svaki $n \in \mathbb{N}$ neka je $T_{n+4}$ poloviste duzine $\overline{T_nT_{n+1}}$ . uz pretpostavku da niz tocaka $T_n (n \rightarrow \infty)$ ima granicnu tocku, nadite koordinate te tocke.

Državno natjecanje 2002 SŠ4 4

Neka je $(a_n), n \in \mathbb{N}$ rastući niz prirodnih brojeva. Za član $a_k$ tog niza kažemo da je "dobar" ako se može prikazati kao suma nekih drugih (ne nužno različitih) članova tog niza. Dokažite da su svi članovi tog niza, osim njih konačno mnogo, "dobri".

Državno natjecanje 2008 SŠ4 2

Odredi formulu za zbroj $\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor \text{,}$ gdje je $\lfloor r \rfloor$ najveći cijeli broj koji nije veći od $r$ .