Školjka

%V0 Neka je $f(x) = x^{2002} - x^{2001} + 1$. Dokazati da su za svaki prirodan broj $m$ brojevi $m$, $f(m)$, $f(f(m))$, $f(f(f(m)))$, ..., u parovima relativno prosti, tj. da nikoja dva među njima nemaju zajednički djelitelj veći od $1$.

%V0 Neka su $a$ i $m$ prirodni brojevi, $p$ neparan prost broj, takav da $p^m \mid a - 1$ i $p^{m+1} \nmid a - 1$. Dokažite da $a)$ $p^{m+n} \mid a^{p^n} - 1$ za svaki $n \in \mathbb{N}$, $b)$ $p^{m+n+1} \nmid a^{p^n} - 1$ za svaki $n \in \mathbb{N}$.

%V0 Dana je funkcija $f$ definirana na pozitivnim cijelim brojevima, koja ima ova svojstva $$f(1)=1,\,\,\,\, f(2)=2\text{.}$$ $$f(n+2)=f(n+2-f(n+1))+f(n+1-f(n)), \,\,\,\, (n \geq 1)\text{.}$$ $(a)$ Pokažite da je $f(n+1)-f(n) \in \{0,\,1\}$ za svaki $n \geq 1$. $(b)$ Ako je $f(n)$ neparan, pokažite da je $f(n+1)=f(n)+1$. $(c)$ Za dani broj $k$ odredite sve vrijednosti $n$ za koje je $$f(n)=2^{k-1}+1\text{.}$$

%V0 Nađite posljednje četiri znamenke broja $3^{1000}$ i broja $3^{1997}$.

%V0 Zadan je niz $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=4$, $x_{n+3}=x_{n+2}+x_{n+1}+x_n$, za svako $n \in \mathbb{N}$. Dokažite da se svaki prirodni broj može prikazati kao zbroj različitih elemenata tog niza.

%V0 Ako je jedan član beskonačnog aritmetičkog niza u skupu prirodnih brojeva potpuni kvadrat, dokažite da takvih članova ima beskonačno mnogo.