Školjka

%V0 Neka je $A = \{1,\,2,\,3,\,\ldots,\,2n\}$ i funkcija $g : A \rightarrow A$ definirana sa $g(k)=2n-k+1$. Da li postoji funkcija $f : A \rightarrow A$ takva da je $f(k) \neq g(k)$ za svaki $k \in A$ i $f(f(f(k)))=g(k)$ za svaki $k \in A$, ako je $a)$ $n=999$, $b)$ $n=1000$?

%V0 Osim žarulja poredano je u krug. Svaka žarulja može biti ili upaljena ili ugašena. U jednom koraku radimo sljedeću transformaciju: žarulja će nakon transformacija biti ugašena, ukoliko je jedna od njoj susjednih žarulja upaljena, a druga ugašena, odnosno, žarulja će nakon transformacije svijetliti, ukoliko su obje njoj susjedne žarulje ili upaljene ili ugašene. U jednom se koraku na stanja svih žarulja djeluje istovremeno. Dokažite da će, nakon najviše četiri koraka, sve žarulje svijetliti.

%V0 neka je $n$ pozitivan cijeli broj veci od $1$. koliko ima permutacija $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ brojeva $1$, $2$, $\dots$, $n$ takvih da postoji tocno jedan indeks $i \in \{1, 2, \dots, n-1\}$ za koji je $a_i > a_{i+1}$

%V0 prirodni brojevi od $1$ do $2003$ poredani su u niz. na nizu vrsimo ovu operaciju: ako je prvi broj u nizu jednak $k$, okrenemo poredak prvih $k$ brojeva. dokazati da se nakon konacno uzastopnih primjena ove operacije broj $1$ pojavi na prvom mjestu, nezavisno od pocetnog rasporeda.

%V0 U tablicu $n \times n$, $n \geqslant 2$, potrebno je upisati brojeve $1$, $2$, $3$ i $4$ tako da svaka četiri polja koja imaju jedan zajednički vrh sadrže četiri različita broja. Na koliko je načina to moguće napraviti?

%V0 Dokaži da je za svaki $k \in \mathbb{N}_0$ moguće odabrati $\displaystyle 4 \cdot 2^k$ različitih prirodnih brojeva koji nisu veći od $\displaystyle 5 \cdot 3^k$, tako da među njima ne postoje tri uzastopna člana aritmetičkog niza.