Školjka

%V0 Odredite polinom $P(x)$ s realnim koeficijentima takav da za neki $n \in \mathbb{N}$ vrijedi $$xP(x-n) = (x-1)P(x), \,\,\forall x \in \mathbb{R}.$$

%V0 niz $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ je zadan rekurzivno s $a_1 = 1$, $a_n = a_1 \cdot \dots \cdot a_{n-1} + 1$, za $n \geq 2$. odredite najmanji realni broj $M$ takav da je $\sum_{n=1}^m \frac{1}{a_n} < M$ za svaki $m \in \mathbb{N}$.

%V0 Niz $(a_n)$ zadan je rekurzivno: $a_0 = 3$ $a_n$ $= 2 + a_0 \cdot a_1 \cdot \ldots \cdot a_{n-1}, n\geq 1$. a) Dokažite da su svi članovi tog niza u parovima relativno prosti prirodni brojevi. b) Odredite $a_{2007}$.

%V0 Zadana je tablica $5 \times n$ kojoj je svako polje obojano u crvenu ili plavu boju. Nađite najmanji $n$ za koji se uvijek mogu odabrati tri retka i tri stupca takva da je svih $9$ polja u njihovom presjeku iste boje.

%V0 Šiljastokutni trokut $ABC$ kome su $A_1$, $B_1$ i $C_1$ polovišta stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ upisan je u kružnicu sa središtem u točki $O$ polumjera $1$. Dokažite da je $$\frac{1}{|OA_1|}+\frac{1}{|OB_1|}+\frac{1}{|OC_1|} \geq 6$$

%V0 Odredi formulu za zbroj $$\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor \text{,} $$ gdje je $\lfloor r \rfloor$ najveći cijeli broj koji nije veći od $r$.