Školjka

%V0 Neka je $A = \{1,\,2,\,3,\,\ldots,\,2n\}$ i funkcija $g : A \rightarrow A$ definirana sa $g(k)=2n-k+1$. Da li postoji funkcija $f : A \rightarrow A$ takva da je $f(k) \neq g(k)$ za svaki $k \in A$ i $f(f(f(k)))=g(k)$ za svaki $k \in A$, ako je $a)$ $n=999$, $b)$ $n=1000$?

%V0 Osim žarulja poredano je u krug. Svaka žarulja može biti ili upaljena ili ugašena. U jednom koraku radimo sljedeću transformaciju: žarulja će nakon transformacija biti ugašena, ukoliko je jedna od njoj susjednih žarulja upaljena, a druga ugašena, odnosno, žarulja će nakon transformacije svijetliti, ukoliko su obje njoj susjedne žarulje ili upaljene ili ugašene. U jednom se koraku na stanja svih žarulja djeluje istovremeno. Dokažite da će, nakon najviše četiri koraka, sve žarulje svijetliti.

%V0 neka je $n$ pozitivan cijeli broj veci od $1$. koliko ima permutacija $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ brojeva $1$, $2$, $\dots$, $n$ takvih da postoji tocno jedan indeks $i \in \{1, 2, \dots, n-1\}$ za koji je $a_i > a_{i+1}$

%V0 Odredi formulu za zbroj $$\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor \text{,} $$ gdje je $\lfloor r \rfloor$ najveći cijeli broj koji nije veći od $r$.

%V0 Dan je $n \times p$ pravokutnik podijeljen na $np$ jedinicnih kvadratica. Na pocetku je $m$ kvadratica crnih, a svi ostali su bijeli. Dozvoljena je sljedeca operacija: bijeli kvadratic koji ima zajednicki brid s barem dva crna kvadratica, moze postati crni. Nadi najmanji moguci $m$ takav da postoji polazna pozicija iz koje, primjenom ovih operacija, mogu svi kvadratici postati crni.

%V0 $a)$ Dokažite da se vrhovi $3n$-terostrane prizme mogu obojati s tri boje na takav način da svaki vrh bude spojen bridovima s vrhovima svih triju boja. $b)$ Dokažite da ako se vrhovi $n$-terostrane prizme mogu obojati s tri boje tako da je svaki vrh spojen bridovima s vrhovima svih triju boja, onda je $n$ djeljiv s $3$.