Školjka

%V0 Odredi sve funkcije $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da je $$ f\!\left(x\right) = \max_{y \in \mathbb{R}}{\left(2xy - f\!\left(y\right)\right)} $$ za svaki $x \in \mathbb{R}$.

%V0 Odredi formulu za zbroj $$\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor \text{,} $$ gdje je $\lfloor r \rfloor$ najveći cijeli broj koji nije veći od $r$.

%V0 Šiljastokutni trokut $ABC$ kome su $A_1$, $B_1$ i $C_1$ polovišta stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ upisan je u kružnicu sa središtem u točki $O$ polumjera $1$. Dokažite da je $$\frac{1}{|OA_1|}+\frac{1}{|OB_1|}+\frac{1}{|OC_1|} \geq 6$$

%V0 Zadana je tablica $5 \times n$ kojoj je svako polje obojano u crvenu ili plavu boju. Nađite najmanji $n$ za koji se uvijek mogu odabrati tri retka i tri stupca takva da je svih $9$ polja u njihovom presjeku iste boje.

%V0 Niz $(a_n)$ zadan je rekurzivno: $a_0 = 3$ $a_n$ $= 2 + a_0 \cdot a_1 \cdot \ldots \cdot a_{n-1}, n\geq 1$. a) Dokažite da su svi članovi tog niza u parovima relativno prosti prirodni brojevi. b) Odredite $a_{2007}$.

%V0 Odredite funkcije $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, neprekidne u nuli, koje zadovoljavaju ovu relaciju $$f(x) - 2f(tx) + f(t^2x) = x^2\text{,}$$ za svako $x \in \mathbb{R}$, gdje je $t \in (0,\,1)$ dani fiksan broj.