Školjka

%V0 Na $n$ kartica napisane su rečenice: [i]Barem $k$ rečenica lijevo od ove kartice je lažno.[/i], za $k=0,\,1,\,2,\,\ldots,\,n-1$. Kartice su složene u nekom redoslijedu slijeva nadesno. Koliko najviše rečenica može biti istinito?

%V0 Dva igrača, $A$ i $B$ igraju sljedeću igru: $A$ i $B$ zapisuju naizmjenično po jednu znamenku sve dok ne napišu šesteroznamenkasti broj, pri čemu se niti jedna znamenka ne smije ponoviti. Prva znamenka mora biti različita od $0$. Igrač $A$ igra prvi, a znamenke se pišu redom slijeva nadesno. Igrač $A$ pobjeđuje ako je napisani šesteroznamenkasti broj djeljiv s $2$, $3$ ili $5$, a u suprotnom pobjeđuje igrač $B$. Dokaži da igrač $A$ ima strategiju za pobjedu, tj. može pobijediti neovisno o igri igrača $B$.

%V0 Niz znamenaka $1$, $2$, $3$, $4$, $0$, $9$, $6$, $9$, $4$, $8$, $7$, ... konstruira se tako da je svaki broj, počevši od petog, jednak znamenki jedinica zbroja prethodne četiri znamenke. a) Da li se u tom nizu redom pojavljuju znamenke $2$, $0$, $0$, $4$, tim redom? b) Da li se u tom nizu ikad ponavljaju početne znamenke $1$, $2$, $3$, $4$, tim redom?

%V0 Koliko ima djelitelja broja $30^{2003}$ koji nisu djelitelji broja $20^{2000}$?

%V0 Na raspolaganju su kovanice od $1$, $2$, $5$, $10$, $20$, $50$ lipa i od $1$ kune. Dokažite da ako se iznos od $M$ lipa može isplatiti pomoću $N$ kovanica, onda se iznos od $N$ kuna može isplatiti pomoću $M$ kovanica.

%V0 Ne beskonačnom bijelom papiru podijeljenom na jednak kvadratiće neki od njih su obojeni crvenom bojom. U svakom $2 \times 3$ pravokutniku točno dva kvadratića su crvena. Promatrajte bilo koji $9 \times 11$ pravokutnik. Koliko u njemu ima crvenih kvadratića?