Slični zadaci

Županijsko natjecanje 2004 SŠ1 4

Stari Egipćani su površinu četverokuta računali po formuli $\displaystyle{P=\frac{a+c}{2} \cdot \frac{b+d}{2}}$ , gdje su $a$ , $b$ , $c$ , $d$ redom duljine stranica $\overline{AB}$ , $\overline{BC}$ , $\overline{CD}$ , $\overline{DA}$ četverokuta $ABCD$ . Dokažite da ta formula daje rezultat koji je veći ili jednak pravoj površini četverokuta. U kojem slučaju je ta formula točna?

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Županijsko natjecanje 2010 SŠ2 2

Neka su $O$ i $P$ redom opseg i površina pravokutnika. Dokaži da vrijedi $O\ge \dfrac{24P}{O+P+1}.$

Županijsko natjecanje 2011 SŠ1 4

U nekom trokutu jedna je srednjica dulja od jedne težišnice. Dokaži da je taj trokut tupokutan.

Županijsko natjecanje 2008 SŠ1 5

Hipotenuza $\overline{AB}$ pravokutnog trokuta $ABC$ ima duljinu $6$ . Kvadrat je upisan u taj trokut tako da mu dva vrha leže na hipotenuzi, a druga dva vrha na katetama.

$a)$ Dokaži da površina kvadrata nije veća od $4$ .
$b)$ Za kakav trokut je ta površina jednaka $4$ ?

Županijsko natjecanje 2008 SŠ1 4

Težišnica i visina iz vrha $A$ trokuta $ABC$ dijele kut kod vrha $A$ na tri jednaka dijela. Koliki su kutovi trokuta $ABC$ ?

Županijsko natjecanje 2001 SŠ1 3

Kružnice $k_1$ i $k_2$ s polumjerima $r_1$ i $r_2$ ( $r_1<r_2$ ) dodiruju se iznutra u točki $P$ . Neka je $q$ jedna tangenta na $k_1$ , koja ju dodiruje u točki $R$ , i paralelna je zajedničkom promjeru danih kružnica. Neka su $M$ i $N$ sjecišta tangente $q$ s $k_2$ . Dokažite da je $PR$ simetrala kuta $\angle MPN$ .

Županijsko natjecanje 1996 SŠ1 3

U ravnini su dane dvije kružnice $k_1$ i $k_2$ na koje su povučene dvije unutarnje zajedničke tangente $u$ , $u'$ i dvije vanjske $v$ , $v'$ . Dokažite da sjecišta tangenata $u \cap v$ , $u \cap v'$ , $u' \cap v$ , $u' \cap v'$ leže na jednoj kružnici.