Školjka

%V0 Stari Egipćani su površinu četverokuta računali po formuli $\displaystyle{P=\frac{a+c}{2} \cdot \frac{b+d}{2}}$, gdje su $a$, $b$, $c$, $d$ redom duljine stranica $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{DA}$ četverokuta $ABCD$. Dokažite da ta formula daje rezultat koji je veći ili jednak pravoj površini četverokuta. U kojem slučaju je ta formula točna?

%V0 Težišnica i visina iz vrha $A$ trokuta $ABC$ dijele kut kod vrha $A$ na tri jednaka dijela. Koliki su kutovi trokuta $ABC$?

%V0 Hipotenuza $\overline{AB}$ pravokutnog trokuta $ABC$ ima duljinu $6$. Kvadrat je upisan u taj trokut tako da mu dva vrha leže na hipotenuzi, a druga dva vrha na katetama. $a)$ Dokaži da površina kvadrata nije veća od $4$. $b)$ Za kakav trokut je ta površina jednaka $4$?

%V0 Neka su $O$ i $P$ redom opseg i površina pravokutnika. Dokaži da vrijedi $$ O\ge \dfrac{24P}{O+P+1}. $$

%V0 Dan je trokut $ABC$. Simetrala kuta $\angle CAB$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $D$, a simetrala kuta $\angle ABC$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $E$. Ako je $\angle ACB \ge 60^\circ$, dokaži da je $|AE|+|BD|\le |AB|$.

%V0 Neka su $ R $ i $ r $ polumjeri opisane i upisane kružnice pravokutnog trokuta. Dokažite nejednakost $$R \geq r(1+\sqrt{2})\text{.}$$