Školjka

%V0 Na raspolaganju su kovanice od $1$, $2$, $5$, $10$, $20$, $50$ lipa i od $1$ kune. Dokažite da ako se iznos od $M$ lipa može isplatiti pomoću $N$ kovanica, onda se iznos od $N$ kuna može isplatiti pomoću $M$ kovanica.

%V0 Za koje se prirodne brojeve $n$ pravokutna ploča $9 \times n$ može prekriti pločicama oblika $\setlength{\unitlength}{5pt} \begin{picture}(2, 3) \put(0, 0){\line(1, 0){1}} \put(0, 0){\line(0, 1){2}} \put(2, 2){\line(-1, 0){2}} \put(2, 2){\line(0, -1){1}} \put(1, 0){\line(0, 1){2}} \put(0, 1){\line(1, 0){2}} \end{picture}$ tako da se one međusobno ne preklapaju?

%V0 "Kolo sreće" podijeljeno je na $30$ odjeljaka u koje su upisani brojevi $50$, $100$, $150$, ..., $1500$ (u nekom redoslijedu). Dokažite da postoje tri uzastopna odjeljka u kojima je zbroj upisanih brojeva veći ili jednak $2350$.

%V0 Niz znamenaka $1$, $2$, $3$, $4$, $0$, $9$, $6$, $9$, $4$, $8$, $7$, ... konstruira se tako da je svaki broj, počevši od petog, jednak znamenki jedinica zbroja prethodne četiri znamenke. a) Da li se u tom nizu redom pojavljuju znamenke $2$, $0$, $0$, $4$, tim redom? b) Da li se u tom nizu ikad ponavljaju početne znamenke $1$, $2$, $3$, $4$, tim redom?

%V0 Dano je $10$ složenih prirodnih brojeva manjih od $840$. Dokaži da među njima postoje barem dva broja koja nisu relativno prosta.

%V0 mozemo li iz svakog deveterclanog podskupa skupa prirodnih brojeva odabrati cetiri razlicita elementa $a$, $b$, $c$, $d$, tako da brojevi $a + b$ i $c + d$ daju isti ostatak pri djeljenju s $20$?