Školjka

%V0 Odredite najveći prirodan broj $n$ za koji postoji $n$-znamenkasti broj $\overline{z_1z_2\ldots z_n}$ (u dekadskom sustavu) s ovim svojstvima: $(a)$ $z_1$, $z_2$, $\dots$, $z_n$ su međusobno različiti brojevi; $(b)$ za svaki $j \le n$, $(1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot j)~|~\overline{z_1z_2\ldots z_j}$. Za taj $n$ nađite sve $n$-znamenkaste brojeve s traženim svojstvima.

%V0 $a)$ Odredite sve četveroznamenkaste brojeve koji su jednaki četvrtoj potenciji sume svojih znamenaka. $b)$ Dokažite da ne postoji peteroznamenkasti broj koji je jednak petoj potenciji sume svojih znamenaka.

%V0 Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $ab+bc+ca=1$. Dokaži nejednakost $$ \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\geq \sqrt{3}+\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}. $$

%V0 Ako se dvoznamenkastom broju pribroji umnožak njegovih znamenaka, dobije se kvadrat zbroja tih znamenaka. Odredi sve takve brojeve.

%V0 Neka su $x$, $y$, $z$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $x^3+y^3+z^3=1$. Dokaži da je tada $$ x^2+y^2+z^2 > x^5+y^5+z^5+2x^2y^2z^2(x+y+z). $$

%V0 Ako su $1=d_1 < d_2 < \dots < d_k =n$ svi djelitelji prirodnog broja $n > 1$, dokaži da vrijedi $$ d_1+d_2+\dots+d_k > k \sqrt{n}. $$