Školjka

%V0 Točka $S$ je središte trokutu $ABC$ upisane kružnice, a simetrala kuta $\angle BAC$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $D$. Dokaži da je $|AS|:|SD|=2:1$ ako i samo ako vrijedi $|CA|+|AB|=2|BC|$.

%V0 Duljine stranica trokuta su $a$, $b$ i $c$, a veličine kutova nasuprot stranica duljina $b$ i $c$ su $\beta =50^\circ $ i $\gamma=100^\circ $. Dokaži jednakost $$ ab=c^2-b^2. $$

%V0 $a)$ Trokutu $ABC$ upisana je kružnica koja redom dodiruje stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ u točkama $D$, $E$, $F$. Dokažite da se pravci $\;AD,\;BE,\;CF\;$ sijeku u istoj točki $P$. $b)$ Dokažite da nijedan od kutova $\angle APB$, $\angle BPC$, $\angle CPA$ nije pravi.

%V0 Pomoću ravnala i šestara konstruirajte pravokutni trokut kojemu je zadana duljina visine na hipotenuzu i polumjer upisane kružnice.

%V0 Unutar danog trokuta, čije opisana i upisana kružnica imaju središta $O$ i $I$ i polumjere $R$ i $r$, nacrtane su četiri jednake kružnice polumjera $x$. Tri od njih diraju po dvije stranice trokuta te izvana diraju četvrtu kružnicu čije je središte u točki $S$. Dokažite da točka $S$ leži na pravcu određenom točkama $O$ i $I$. Nađite polumjer $x$.

%V0 Središte $U$ upisane kružnice trokuta $ABC$ spojeno je dužinama s njegovim vrhovima. Neka su $O_1, O_2$ i $O_3$ središta kružnica opisanih trokutima $BCU$, $CAU$ i $ABU$. Dokažite da kružnice opisane trokutima $ABC$ i $O_1O_2O_3$ imaju zajedničko središte.