Školjka

%V0 Visina, simetrala kuta i težišnica povučene iz jednog vrha trokuta dijele kut na četiri jednaka dijela. Odredi kutove trokuta.

%V0 Točka $S$ je središte trokutu $ABC$ upisane kružnice, a simetrala kuta $\angle BAC$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $D$. Dokaži da je $|AS|:|SD|=2:1$ ako i samo ako vrijedi $|CA|+|AB|=2|BC|$.

%V0 Trokutu $ABC$ upisana je kružnica polumjera $r$ sa središtem u točki $S$. Pravac kroz točku $S$ siječe stranice $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$ redom u točkama $D$ i $E$. Dokažite da za površinu $P$ trokuta $CED$ vrijedi $P\geq 2r^2$. Kada vrijedi jednakost?

%V0 $a)$ Trokutu $ABC$ upisana je kružnica koja redom dodiruje stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ u točkama $D$, $E$, $F$. Dokažite da se pravci $\;AD,\;BE,\;CF\;$ sijeku u istoj točki $P$. $b)$ Dokažite da nijedan od kutova $\angle APB$, $\angle BPC$, $\angle CPA$ nije pravi.

%V0 Unutar danog trokuta, čije opisana i upisana kružnica imaju središta $O$ i $I$ i polumjere $R$ i $r$, nacrtane su četiri jednake kružnice polumjera $x$. Tri od njih diraju po dvije stranice trokuta te izvana diraju četvrtu kružnicu čije je središte u točki $S$. Dokažite da točka $S$ leži na pravcu određenom točkama $O$ i $I$. Nađite polumjer $x$.

%V0 Težišnica i visina iz vrha $A$ trokuta $ABC$ dijele kut kod vrha $A$ na tri jednaka dijela. Koliki su kutovi trokuta $ABC$?