Školjka

%V0 Na ploču $10\times 10$ postavljeno je $50$ žetona tako da nikoja dva nisu na istom polju. Pritom $25$ žetona zauzima donju lijevu četvrtinu ploče, a preostalih $25$ gornju desnu četvrtinu. Neka su $X$, $Y$, $Z$ redom tri uzastopna polja (horizontalno, vertikalno ili dijagonalno). Ako se dva žetona nalaze na poljima $X$ i $Y$ i ako je polje $Z$ slobodno, žeton s polja $X$ može se premjestiti na polje $Z$, preskočivši žeton na polju $Y$. Može li se, konačnim nizom takvih poteza, premjestiti svih $50$ žetona na donju polovicu ploče?

%V0 Na dvije suprotne strane kockice nalazi se po jedna točka, na druge dvije suprotne strane po dvije i na preostale dvije po tri točke. Od osam takvih kockica napravljena je kocka $2\times 2\times 2$, te se prebroji koliko točaka ima na svakoj strani. Može li se na taj način dobiti šest uzastopnih prirodnih brojeva?

%V0 U $20$ posuda (od kojih svaka ima barem $210$ litara) nalazi se redom $1, 2, 3, \dots, 20$ litara vode. Iz posude $A$ u posudu $B$ dozvoljeno je preliti točno onoliko vode koliko već ima u posudi $B$ (uz pretpostavku da u posudi $A$ ima barem toliko vode koliko u $B$). Da li je moguće nakon konačno prelijevanja dobiti: $a)$ $5$ posuda s po $3$ litre vode, a u preostalih $15$ posuda po $6, 7, \dots, 20$ litara; $b)$ svih $210$ litara vode u jednoj posudi?

%V0 Tri skakavca sjede u tri vrha kvadrata. Svake minute jedan od njih preskoči nekog od preostala dva te se smjesti u točku simetričnu onoj iz koje je skočio u odnosu na skakavca kojeg je preskočio. Može li barem jedan od njih nakon konačno mnogo takvih skokova stići u četvrti vrh kvadrata?

%V0 Dokaži da u skupu od devet prirodnih brojeva, od kojih ni jedan nema prostog djelitelja većeg od $6$, postoje dva broja čiji je umnožak potpun kvadrat (kvadrat nekog prirodnog broja).

%V0 Dvadeset i četiri točke raspoređene su u šest stupaca i četiri retka, kao na slici. Pokaži da se od danih točaka može odabrati njih točno dvanaest tako da nikoje četiri od njih nisu vrhovi pravokutnika sa stranicama paralelnim danim recima i stupcima. [img attachment=1 width=200px]