Školjka

%V0 Duljine stranica trokuta su $a=t^2+t+1$, $b=t^2+2t$ i $c=2t+1$, gdje je $t$ pozitivan realan broj. (a) Poredajte te duljine po veličini. (b) Dokažite da je $\alpha=60^{\circ }$. (c) Izračunajte polumjere $R$ i $r$ opisane i upisane kružnice tog trokuta i nađite najmanji mogući omjer $\dfrac{R}{r}$. (d) Nađite vrijednosti $t$ za koje je trokut pravokutan.

%V0 Dokaži da u trokutu $ABC$ s duljinama stranica $a$, $b$, $c$, kutovima $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ i poluopsegom $s$ vrijedi jednakost $$ s^2 = b^2\cos^2\frac{\gamma}2 + c^2\cos^2\frac{\beta}2 + 2bc\cos\frac{\beta}2\cos\frac{\gamma}2\cos\frac{\beta+\gamma}2 \text{.} $$

%V0 Neka su $A'$, $B'$, $C'$ točke u kojima simetrale kutova trokuta $ABC$ sijeku nasuprotne stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ redom i neka je $S$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$. Ako je $|AS| : |SA'| = 3 : 2$, $|BS| : |SB'| = 4 : 3$ i ako je $|AB|=12$, odredi duljine ostalih stranica trokuta.

%V0 Nad stranicama trokuta $ABC$ površine $P$ nalaze se rombovi $ABED$, $BCGF$ i $CAIH$ tako da je $\angle ABE=\angle BAC$, $\angle BCG=\angle CBA$, $\angle CAI=\angle ACB$. Dokaži da je zbroj površina triju rombova veći ili jednak $6 P$. Dokaži da se jednakost postiže ako i samo ako je trokut $ABC$ jednakostraničan.

%V0 Ako za kutove $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ nekog trokuta vrijedi $\cos \gamma=2\sin\alpha\sin\beta-1$, dokaži da je taj trokut jednakokračan.

%V0 Dan je trokut $ABC$. Simetrala kuta $\angle CAB$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $D$, a simetrala kuta $\angle ABC$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $E$. Ako je $\angle ACB \ge 60^\circ$, dokaži da je $|AE|+|BD|\le |AB|$.