Školjka

%V0 Za koje vrijednosti parametra $p \in \mathbb{R}$ jednadžba $$ {5x\over 5x^2+px+45}+{x+10\over x^2+5x}={2\over x} $$ nema nijedno rješenje?

%V0 Neka je $a$ neki realni broj. Riješi sustav jednadžbi $$ \begin{array}{lcr} (x_1+x_2+x_3)\cdot x_4 &=& a\\ (x_1+x_2+x_4)\cdot x_3 &=& a\\ (x_1+x_3+x_4)\cdot x_2 &=& a\\ (x_2+x_3+x_4)\cdot x_1 &=& a. \end{array} $$

%V0 Neka je $P(x)=ax^2+bx+c$, gdje su $a$, $b$, $c\in \mathbb{R}$, $a\neq 0$. Odredi sva rješenja jednadžbe $$ P(x^2+4x-7)=0, $$ ako je poznato da je jedno od njih jednako $1$ i barem jedno rješenje je dvostruko.

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $a+b+c=abc$. Dokaži da vrijedi $$ a^5\left(bc-1\right)+b^5\left(ca-1\right)+c^5\left(ab-1\right)\ge 54\sqrt{3}. $$

%V0 Graf polinoma $P$ je centralno simetričan s obzirom na točku $S(a,b)$ ako i samo ako postoji polinom $Q$ takav da je $$ P(x)=b+(x-a)Q((x-a)^2), \ \text{za svaki}\ x \in \mathbb{R} \text{.} $$ Dokažite!

%V0 Nađi međusobne omjere realnih brojeva $x$, $y$, $z$ ako uz zadane brojeve $a$, $b$, $c$, $abc\ne-1$, vrijede jednakosti $$ x+by=y+cz=z+ax. $$