Metoda faktorizacije (primjer)


Kvaliteta:
  Avg: 0,0
Težina:
  Avg: 0,0
Dodao: MatesV13
18. listopada 2022.
LaTeX PDF

Lema 1: Umnožak faktora je nula ako i samo ako je barem jedan od faktora nula.

PRIMJER 1:

Riješi diofantsku jednadžbu: (x+3)(y-7)(x+y)=0.

RJEŠENJE:

Po lemi, vidimo da su rješenja oblika x=-3, y \in \mathbb{Z} (ako je prva zagrada jednaka nuli), x \in \mathbb{Z}, y=7 (ako je druga zagrada jednaka nuli) i x = -y (ako je treća zagrada jednaka nuli; ovo možete zapisati i preko nekog parametra).

Nema veze što se neki skupovi rješenja preklapaju, na primjer (x, y) = (-3, 3) (kada su prva i treća zagrade jednake nuli), bitno je samo da pokrijete sva rješenja.

PRIMJER 2:

Riješimo diofantsku jednadžbu xy + x - 3y - 6 = 0.

RJEŠENJE:

Zadana jednadžba zapravo je jednaka: (y + 1)(x - 3) = 3. Dakle, dovoljno je riješiti samo slučajeve kada je jedna zagrada jednaka \pm 1, a druga \pm 3. Sada izjednačavamo zagrade s tim vrijednostima. Konkretno, rješenja su (x, y) = (2, 4), (0, 6), (-4, 2), (-2, 0).

Zadatci za samostalno rješavanje

1. Riješi u cijelim brojevima: 4x^2 + 2xy + 2x + y = 0.

2. Riješi u cijelim brojevima: 6x^2 - 13xy + 6y^2 = 4.

3. Nađi sva cijelobrojna rješenja za: x^2 + 37^2 = y^2.