Školjka

U metodi nejednakosti, želimo ograničiti broj mogućnosti tako da najprije ograničimo neku nepoznanicu pomoću nejednakosti. Zatim nam ostaje relativno malo primjera koje možemo provjeriti ručno i vidjeti ima li rješenja. PRIMJER: U skupu prirodnih brojeva riješite jednadžbu $a + b + c = abc$. RJEŠENJE: Pošto je jednadžba potpuno simetrična, bez smanjenja općenitosti neka je $a \leq b \leq c$. Tada je $abc = a + b + c \leq 3c$, odnosno $ab \leq 3$ (kako je $c \in \mathbb{N}$, smijemo nejednakost podijeliti s $c$) , pa razlikujemo tri slučaja: \begin{enumerate} \item $a = 1, b = 1$ (uvrštavanjem te vrijednosti u početnu jednadžbu dobijemo kontradikciju $2 = 0$); \item $a = 1, b = 2$ (dobivamo $c = 3$); \item $a = 1, b = 3$ (dobivamo $c = 2$ što je kontradikcija s $b \leq c$). \end{enumerate} Dakle, jedino rješenje je $(1, 2, 3)$ i sve permutacije tog skupa. PRIMJER: Dokažite da izraz $n^2 + n + 1$, gdje je $n \in \mathbb{N}$, ne može biti kvadrat cijelog broja. RJEŠENJE: Metoda koju ćemo primijeniti poznata je i kao \textbf{smještanje među kvadrate}, tj. pokazujemo da broj ne može biti kvadrat tako da ga smjestimo između dva uzastopna kvadrata. Primijetimo da zbog $n \in \mathbb{N}$ tj. $n > 0$ vrijedi $n^2 + n + 1 > n^2 + 0 + 1 > n^2$. S druge strane, slično zaključujemo i $n^2 + n + 1 < (n^2 + n + 1) + n = n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2$. No kako su $n$ i $n + 1$ su 2 uzastopna prirodna broja, a $n^2 + n + 1$ strogo između njihovih kvadrata, taj broj nikako ne može biti kvadrat nekog prirodnog broj. \textbf{Zadatci za samostalno rješavanje} 1. (Općinsko 2010. SŠ4 4.) Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ takvih da vrijedi $$m^5+n^2=1700$$. 2. (Županijsko 2018. SŠ1 2.) Odredi sve parove cijelih brojeva $(m,n)$ takve da je: $$n^2 - 6n = m^2 + m - 10$$