Školjka

ZADATAK: \textit{(Gaussova dosjetka)} Neka je $n \in \mathbb{N}$. Dokaži: $1+2+ \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$. RJEŠENJE: Tvrdnju ćemo dokazati koristeći matematičku indukciju. \begin{itemize} \item [\textbf{B:}] Provjeravamo tvrdnju za $n=1$. Očito je $1 = \frac{1\cdot 2}{2}$ pa smo pokazali bazu indukcije. \item[\textbf{P:}] Pretpostavimo sada da za neki prirodan broj $k\in\mathbb N$ vrijedi $1+2+...+k = \frac{k\cdot (k+1)}{2}$. \item[\textbf{K:}] Želimo koristeći pretpostavku za $k$ pokazati da je $1+2+\dots+k+k+1 = \frac{(k+1)\cdot (k+2)}{2}$ \end{itemize} Želimo pokazati da tvrdnja vrijedi i za $k+1$. Zato uzimamo pretpostavku i dodajemo joj $k+1$: \begin{align*} 1+2+...+k &= \frac{k\cdot (k+1)}{2}\qquad\Big/+(k+1)\\ 1+2+...+k+(k+1) &= \frac{k\cdot (k+1)}{2}+k+1\\ 1+2+...+k+(k+1) &= \frac{k\cdot (k+1)+2(k+1)}{2}\\ 1+2+...+k+(k+1) &= \frac{(k+2)\cdot (k+1)}{2} \end{align*} Time smo dokazali korak indukcije pa po principu matematičke indukcije zaključujemo da tvrdnja vrijedi za sve prirodne brojeve $n$.