Slični zadaci

Županijsko natjecanje 2004 SŠ3 2

Pretpostavimo da duljine stranica trokuta $a$ , $b$ , $c$ zadovoljavaju jednakosti: $\begin{align*} \displaystyle{\frac{b}{a}}&= \displaystyle{\frac{|b^2+c^2-a^2|}{bc}},\\ \displaystyle{\frac{c}{b}}&= \displaystyle{\frac{|c^2+a^2-b^2|}{ca}},\\ \displaystyle{\frac{a}{c}}&= \displaystyle{\frac{|a^2+b^2-c^2|}{ab}}. \end{align*}$
Odredite sve moguće vrijednosti kutova tog trokuta.

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Županijsko natjecanje 1996 SŠ3 2

Na stranici $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ leže redom točke $N$ , $L$ i $M$ , pri čemu je $\overline{AN}$ visina, $AL$ simetrala kuta $\angle CAB$ i $\overline{AM}$ težišnica. Ako je $\angle NAB=\angle LAN=\angle MAL=\angle CAM$ , odredite kutove trokuta.

Županijsko natjecanje 1996 SŠ3 3

Duljine stranica trokuta su $a=t^2+t+1$ , $b=t^2+2t$ i $c=2t+1$ , gdje je $t$ pozitivan realan broj.

(a) Poredajte te duljine po veličini.
(b) Dokažite da je $\alpha=60^{\circ }$ .
(c) Izračunajte polumjere $R$ i $r$ opisane i upisane kružnice tog trokuta i nađite najmanji mogući omjer $\dfrac{R}{r}$ .
(d) Nađite vrijednosti $t$ za koje je trokut pravokutan.

Županijsko natjecanje 1997 SŠ3 2

U trokutu $ABC$ povučene su simetrale $AD$ i $BE$ kutova $\angle CAB$ i $\angle ABC$ ( $D$ i $E$ su točke na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{AC}$ ). Nađite kut $\gamma = \;\angle BCA$ ako je $|AD|\cdot |BC| = |BE|\cdot |AC|\;$ i $\;|AC|\ne |BC|.$

Županijsko natjecanje 2005 SŠ3 4

Trokut $ABC$ je šiljastokutan. Za bilo koju točku $T$ iz unutrašnjosti ili s ruba trokuta $ABC$ , točke $T_a$ , $T_b$ , $T_c$ su redom nožišta okomica iz $T$ na stranice $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ , $\overline{AB}$ . Ako je $f(T)=\dfrac{|AT_c|+|BT_a|+|CT_b|}{|TT_a|+|TT_b|+|TT_c|},$ dokažite da $f(T)$ ne ovisi o izboru točke $T$ ako i samo ako je trokut $ABC$ jednakostraničan.

Županijsko natjecanje 2008 SŠ3 3

Visina, simetrala kuta i težišnica povučene iz jednog vrha trokuta dijele kut na četiri jednaka dijela. Odredi kutove trokuta.

Županijsko natjecanje 2004 SŠ4 3

U ravnini su dane točke $A$ , $B$ i $C$ . Neka su $D$ , $E$ , $F$ , $G$ , $H$ i $I$ točke u istoj ravnini takve da su trokuti $ABD$ , $BAE$ , $CAF$ , $DFG$ , $ECH$ i $GHI$ pozitivno orijentirani jednakostranični trokuti. Dokažite da je točka $E$ polovište dužine $\overline{AI}$ .