Školjka

%V0 Na stranici $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ leže redom točke $N$, $L$ i $M$, pri čemu je $\overline{AN}$ visina, $AL$ simetrala kuta $\angle CAB$ i $\overline{AM}$ težišnica. Ako je $\angle NAB=\angle LAN=\angle MAL=\angle CAM$, odredite kutove trokuta.

%V0 U trokutu $ABC$ povučene su simetrale $AD$ i $BE$ kutova $\angle CAB$ i $\angle ABC$ ($D$ i $E$ su točke na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{AC}$). Nađite kut $\gamma = \;\angle BCA$ ako je $|AD|\cdot |BC| = |BE|\cdot |AC|\;$ i $\;|AC|\ne |BC|.$

%V0 U sva polja tablice $100\times 100$ upisani su brojevi $1, 2, \dots, 100$ i to tako da se svaki pojavljuje točno $100$ puta. Pokažite da postoji redak ili stupac u kojem ima barem $10$ različitih brojeva.

%V0 Trokut $ABC$ je šiljastokutan. Za bilo koju točku $T$ iz unutrašnjosti ili s ruba trokuta $ABC$, točke $T_a$, $T_b$, $T_c$ su redom nožišta okomica iz $T$ na stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$. Ako je $$ f(T)=\dfrac{|AT_c|+|BT_a|+|CT_b|}{|TT_a|+|TT_b|+|TT_c|}, $$ dokažite da $f(T)$ ne ovisi o izboru točke $T$ ako i samo ako je trokut $ABC$ jednakostraničan.

%V0 Visina, simetrala kuta i težišnica povučene iz jednog vrha trokuta dijele kut na četiri jednaka dijela. Odredi kutove trokuta.

%V0 Zadan je jednakostraničan trokut. Dozvoljeni potez je da pravcem presiječemo trenutni lik na dva dijela, "okrenemo" jedan od nastalih dijelova i ponovo ”zalijepimo”. (npr. ako to napravimo po visini jednakostraničnog trokuta stranice $a$, dobit ćemo paralelogram stranica $a, \frac{a}{2}$ i kutom od $60^{\circ}$) Možemo li nizom takvih poteza iz trokuta dobiti kvadrat? Ako da - pokaži kako, ako ne - dokaži!