Školjka

%V0 Dokažite da u pravokutnom trokutu vrijedi $$ \cos ^2\frac{\alpha -\beta }{2}\geq \frac{2ab}{c^2}, $$ gdje su $\alpha $ i $\beta $ šiljasti kutovi, $a$ i $b$ duljine kateta i $c$ duljina hipotenuze.

%V0 Točka $P$ nalazi se unutar trokuta $ABC$ tako da je $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA=\varphi$. Ako su $\alpha $, $\beta $ i $\gamma $ kutovi trokuta, dokažite da je $$ \dfrac{1}{\sin ^2\varphi }=\dfrac{1}{\sin ^2\alpha }+ \dfrac{1}{\sin ^2\beta }+\dfrac{1}{\sin ^2\gamma }. $$

%V0 Odredite kutove $\alpha $ i $\beta $ pravokutnog trokuta ako vrijedi $$ \tg \alpha +\tg \beta +\tg^2\alpha +\tg^2\beta +\tg^3\alpha + \tg^3\beta =70. $$ [i]Napomena:[/i] Dovoljno je odrediti $\tg \alpha $ i $\tg \beta $.

%V0 U trokutu s kutovima $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ vrijedi jednakost $$\sin^2\alpha +\sin^2\beta =\sin\gamma.$$ Ako je poznato da su kutovi $\alpha$ i $\beta$ šiljasti, dokažite da je kut $\gamma$ pravi.

%V0 Trokut $ABC$ je šiljastokutan. Za bilo koju točku $T$ iz unutrašnjosti ili s ruba trokuta $ABC$, točke $T_a$, $T_b$, $T_c$ su redom nožišta okomica iz $T$ na stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$. Ako je $$ f(T)=\dfrac{|AT_c|+|BT_a|+|CT_b|}{|TT_a|+|TT_b|+|TT_c|}, $$ dokažite da $f(T)$ ne ovisi o izboru točke $T$ ako i samo ako je trokut $ABC$ jednakostraničan.

%V0 Ako za kutove $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ nekog trokuta vrijedi $\cos \gamma=2\sin\alpha\sin\beta-1$, dokaži da je taj trokut jednakokračan.