Školjka

%V0 Svi bridni kutovi pri vrhu $D$ tetraedra $ABCD$ jednaki su $\alpha$, a kutovi izmedu dviju strana tetraedra kojima je jedan vrh $D$ jednaki su $\varphi$. Dokažite da postoji točno jedan kut $\alpha$ za koji je $\varphi = 2\alpha$.

%V0 polovistem svakog brida tetraedra polozena je ravnina okomito na suprotni brid. dokazite da se svih sest ravnina sijeku u tocku simetricnoj sredistu opisane sfere tetraedra u odnosu na njegovo teziste.

%V0 U tetraedru $SABC$ poznati su kutovi između pobočnih bridova: $\angle BSC = \alpha $, $\angle CSA = \beta $ i $\angle ASB = \gamma.$ Odredite kutove između pobočaka.

%V0 Težište tetraedra $ABCD$ je točka $T$ čiji je radijus-vektor dan sa $$ \displaystyle{\vec{r}_T= \frac{1}{4}(\vec{r}_A+\vec{r}_B+\vec{r}_C+\vec{r}_D)}. $$ Ako je težište jednako udaljeno od vrhova $A$ i $B$, dokažite da je $$ |AC|^2+|AD|^2=|BC|^2+|BD|^2. $$

%V0 Neka je $T$ točka unutar trostrane piramide $ABCD$ i neka su točke $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ presjecišta pravaca $AT$, $BT$, $CT$, $DT$ s nasuprotnim stranama piramide, redom. Ako je $$ \dfrac{|AT|}{|TA_1|}=\dfrac{|BT|}{|TB_1|}=\dfrac{|CT|}{|TC_1|}= \dfrac{|DT|}{|TD_1|}=\lambda, $$ koje sve vrijednosti može $\lambda$ poprimiti? Obrazložite odgovor!

%V0 Osnovka $ABC$ piramide $ABCV$ je jednakostraničan trokut stranice duljine $2\sqrt2$. Brid $\overline{CV}$ ima duljinu $1$ i okomit je na ravninu osnovke. Nađi kut koji zatvaraju pravci od kojih jedan prolazi vrhom $V$ i polovištem stranice $\overline{BC}$, a drugi vrhom $C$ i polovištem stranice $\overline{AB}$, a drugi vrhom $C$ i polovištem stranice $\overline{AB}$.