Školjka

%V0 Na stranici $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ leže redom točke $N$, $L$ i $M$, pri čemu je $\overline{AN}$ visina, $AL$ simetrala kuta $\angle CAB$ i $\overline{AM}$ težišnica. Ako je $\angle NAB=\angle LAN=\angle MAL=\angle CAM$, odredite kutove trokuta.

%V0 U trokutu $ABC$ povučene su simetrale $AD$ i $BE$ kutova $\angle CAB$ i $\angle ABC$ ($D$ i $E$ su točke na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{AC}$). Nađite kut $\gamma = \;\angle BCA$ ako je $|AD|\cdot |BC| = |BE|\cdot |AC|\;$ i $\;|AC|\ne |BC|.$

%V0 Trokut $ABC$ je šiljastokutan. Za bilo koju točku $T$ iz unutrašnjosti ili s ruba trokuta $ABC$, točke $T_a$, $T_b$, $T_c$ su redom nožišta okomica iz $T$ na stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$. Ako je $$ f(T)=\dfrac{|AT_c|+|BT_a|+|CT_b|}{|TT_a|+|TT_b|+|TT_c|}, $$ dokažite da $f(T)$ ne ovisi o izboru točke $T$ ako i samo ako je trokut $ABC$ jednakostraničan.

%V0 U trokutu $ABC$ vrijedi: $|BC|=4$, $|CA|=5$, $\angle BCA=2\angle CAB$. Izračunaj polumjere tom trokutu opisane i upisane kružnice.

%V0 Visina, simetrala kuta i težišnica povučene iz jednog vrha trokuta dijele kut na četiri jednaka dijela. Odredi kutove trokuta.

%V0 Nad stranicama trokuta $ABC$ površine $P$ nalaze se rombovi $ABED$, $BCGF$ i $CAIH$ tako da je $\angle ABE=\angle BAC$, $\angle BCG=\angle CBA$, $\angle CAI=\angle ACB$. Dokaži da je zbroj površina triju rombova veći ili jednak $6 P$. Dokaži da se jednakost postiže ako i samo ako je trokut $ABC$ jednakostraničan.