Školjka

%V0 Kvadratna tablica $2009 \times 2009$ popunjena je brojevima $1, 2, 3, \dots, 2009$ tako da se u svakom retku i svakom stupcu pojavljuje svaki od tih brojeva. Ako je tablica simetrična u odnosu na jednu dijagonalu, onda se i na toj dijagonali pojavljuju svi brojevi $1, 2, 3, \dots, 2009$. Dokaži!

%V0 U Sunčevom sustavu otkriven je novi planet! Dakle, oko Sunca kruži $10$ planeta. Dokaži da se u svakom trenutku na površini Sunca može pronaći točka iz koje su vidljiva najviše $4$ planeta. (Općepoznata pretpostavka je da svi planeti i Sunce imaju oblik kugle te da svaki planet ima manji polumjer od Sunca. Druga saznanja o planetama molimo ne koristiti.)

%V0 U sva polja tablice $100\times 100$ upisani su brojevi $1, 2, \dots, 100$ i to tako da se svaki pojavljuje točno $100$ puta. Pokažite da postoji redak ili stupac u kojem ima barem $10$ različitih brojeva.

%V0 Na jednom automatu koji radi na žetone od po $1$, $10$ i $25$ kuna možete igrati ovu igru: ako stavite žeton od $1$ kune, dobijete jedan žeton od $10$ kuna; ako stavite žeton od $10$ kuna, dobijete jedan žeton od $1$ kune i jedan žeton od $25$ kuna; ako stavite žeton od $25$ kuna, dobijete dva žetona od po $10$ kuna. Na početku ste imali jedan žeton od $10$ kuna. Nakon nekog vremena utvrdili ste da imate točno $100$ žetona od $1$ kune i nešto drugih žetona. Koja je najmanja vrijednost žetona koju ste do tada mogli osvojili?

%V0 Svako polje ploče $1000 \times 1000$ obojano je crnom ili bijelom bojom. Ukupan broj crnih polja na ploči je za $2012$ veći od ukupnog broja bijelih polja. Dokaži da postoji kvadrat $2 \times 2$ koji sadrži tri polja jedne boje i jedno polje druge boje.

%V0 Na ploči su napisani brojevi $1, \frac 12, \frac 13, \ldots, \frac{1}{2001}$. Učenik odabire dva broja s ploče, recimo $x$ i $y$, te izračuna broj $x + y + xy$, rezultat zapiše na ploču, a $x$ i $y$ obriše. Odredite broj koji će ostati na ploči nakon što ovaj postupak obavi $2000$ puta.