Školjka

%V0 Tablica dimenzija $n \times n$ ispunjena je jedinicama i nulama. Poznate je da ne postoje četiri jedinice na mjestima koje čine pravokutnik. Dokažite da je broj jedinica u tablici najviše $\frac n2 (1 + \sqrt{4n - 3})$.

%V0 U prostoru je dano sest razlicitih tocaka, $O, T_1, T_2, T_3, T_4, T_5.$ Dokazi da postoje indeksi $i, j, 1 \leq i < j \leq 5$ takvi da je $\angle T_iOT_j \leq 90^\circ.$

%V0 Na šahovskom turniru s osam sudionika svaka dvojica odigrala su po jednu partiju. Nakon odigrane partije pobjednik dobiva $1$ bod, a poraženi $0$ bodova. Ako partija završi remisom svaki od njih dobiva po $\frac{1}{2}$ boda. Na kraju turnira svaka dva sudionika imaju različit broj bodova, a drugoplasirani šahist ima toliko bodova koliko ih imaju posljednja četvorica zajedno. Koliko je bodova osvojio sedmoplasirani igrač u partiji s trećeplasiranim?

%V0 Šest četvrtih razreda, $IVa$, $IVb$, $IVc$, $IVd$, $IVe$ i $IVf$ trebaju ići na maturalno putovanje, a moguća odredišta su Kopački rit, Plitvička jezera, Trakošćan i Kornati. Na koliko načina oni to mogu učiniti, ako svaki razred može otići na samo jedno od tih mjesta, a svako od njih mora posjetiti barem jedan razred?

%V0 Na matematičkom natjecanju sudjelovalo je devet učenika. Odredite koliko je zadataka postavljeno, ako su svaki zadatak riješila točno tri učenika i ako za svaki par učenika postoji točno jedan zadatak koji su oboje riješili.

%V0 Nađi međusobne omjere realnih brojeva $x$, $y$, $z$ ako uz zadane brojeve $a$, $b$, $c$, $abc\ne-1$, vrijede jednakosti $$ x+by=y+cz=z+ax. $$